¿Existe una solución analítica para la ecuación $\log_{2}{x}+\log_{3}{x}+\log_{4}{x}=1$ ?

Question

Estoy buscando una solución de forma cerrada para la siguiente ecuación.

$$\log_{2}{x}+\log_{3}{x}+\log_{4}{x}=1.$$

Lo resuelvo mediante una gráfica, pero no sé si hay una forma de encontrar $x$ ¿analíticamente?

Answer 1

$$ log_v {u}= \dfrac{log_a u}{log_a v} $$

válido para cualquier base arbitraria $a$ no tiene que ser necesariamente $10$ o $e$ .

Así que

$$\log_a{x}\left(\dfrac{1}{\log_a2}+\dfrac{1}{\log_a3}+\frac{1}{\log_a4}\right)=1$$

o

$$x=a^\left({\dfrac{1}{\dfrac{1}{\log_a2}+\dfrac{1}{\log_a3}+\dfrac{1}{\log_a4}}}\right)=f(a)$$

EDIT1:

aparentemente pero de hecho $ \ne any \,f(a)$

En consecuencia, $x$ es indeterminado... ya que somos libres de elegir cualquier base .

Lo siento, ya que $ a^{log_a u} = \,u $ tiene un efecto anulador ... apresuradamente sobre visto en la pura inspección visual/estructural de lo anterior. ( Sólo quería decir "en consecuencia $x$ es independiente de base... ya que somos libres de elegir cualquier base "), etc. ...porque le di más valor a la independencia de la base como algo relevante para esta pregunta.

g[u_] = Log[u] (1/Log[3] + 1/Log[4] + 1/Log[2]);
ParametricPlot[{a, a^(1/g(a))}, {a, 1, 12}, GridLines -> Automatic]

que produce una base libre $ x \approx 1.3844.$