¿Existe una solución analítica para la ecuación $\log_{2}{x}+\log_{3}{x}+\log_{4}{x}=1$ ?

Question

Estoy buscando una solución de forma cerrada para la siguiente ecuación.

$$\log_{2}{x}+\log_{3}{x}+\log_{4}{x}=1.$$

Lo resuelvo mediante una gráfica, pero no sé si hay una forma de encontrar $x$ ¿analíticamente?

Answer 1

Es $$\ln{x}\left(\frac{1}{\ln2}+\frac{1}{\ln3}+\frac{1}{\ln4}\right)=1$$ o $$\ln{x}=\frac{1}{\frac{1}{\ln2}+\frac{1}{\ln3}+\frac{1}{\ln4}}$$ o $$x=e^{\frac{1}{\frac{1}{\ln2}+\frac{1}{\ln3}+\frac{1}{\ln4}}}$$

Answer 2

Dejemos que $y = log_{10}x$

Entonces

$y(\frac{1}{log2}+\frac{1}{log3}+\frac{1}{log4}) = 1$

Encuentre y

y luego $x = 10^y$

Answer 3

Una pista: $$\log[b](x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln(b)}$$

Answer 4

$$\tag1 \log_{2}{x}+\log_{3}{x}+\log_{4}{x}=1$$

$$\tag2 \frac{\log{x}}{\log{2}}+\frac{\log{x}}{\log{3}}+\frac{\log{x}}{\log{4}} = 1$$

$$\tag3 \left(\frac{1}{\log{2}}+\frac{1}{\log{3}}+\frac{1}{\log{4}}\right)\log{x} = 1$$

$$\tag4 \left(\frac{1}{\log{2}}+\frac{1}{\log{3}}+\frac{1}{\log{4}}\right) = \frac{1}{\log{x}}$$

$$\tag5 \left(\frac{1}{\log{3}} + \frac{3}{\log{4}}\right) = (\log{x})^{-1}$$

$$\tag6 \left(\frac{1}{\log{3}} + \frac{3}{\log{4}}\right)^{-1} = \log{x}$$

$$\tag7 10^{\left(\frac{1}{\log{3}} + \frac{3}{\log{4}}\right)^{-1}}= x$$

$$10^{\frac{1}{\frac{1}{\log{3}} + \frac{3}{\log{4}}}}= x$$

Answer 5

Para dar un enfoque ligeramente diferente, dejemos $x=e^u$ . Entonces

$$1=\log_2x+\log_3x+\log_4x=u(\log_2e+\log_3e+\log_4e)$$

así que

$$x=e^u=e^{1/(\log_2e+\log_3e+\log_4e)}$$

Nota: $e$ aquí puede ser cualquier número positivo, no sólo $2.718281828\ldots$ . Por ejemplo, podríamos escribir

$$x=4^{1/(\log_24+\log_34+\log_44)}=4^{1/(3+\log_34)}$$

Desde $3\lt4\lt9$ tenemos $1\lt\log_34\lt2$ con el valor de $\log_34$ más cerca de $1$ que a $2$ . Si utilizamos la burda aproximación $\log_34\approx1$ obtenemos

$$x\approx4^{1/4}=\sqrt2\approx1.414$$

Desde $\log_34$ es en realidad más grande que $1$ el valor exacto de $x$ es un poco menos que $\sqrt2$ . Un cálculo más detallado da como resultado

$$x\approx4^{1/4.2618595}\approx4^{0.234639}\approx1.384416$$