Es fácil ver que $f$ es uniformemente continua (básicamente por la definición de una contracción). Ahora estoy tratando de entender por qué esto implica que $f$ se extiende únicamente a un continuo $\tilde{f}: \tilde{M} \to \tilde{M}$ donde $\tilde M$ es la culminación de M. Además, se $\tilde{f}$ una contracción? Creo que es, pero estoy teniendo un tiempo difícil tratando de justificar.
Respuesta
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Asumo $M$ es un espacio métrico.
Podemos ver $M$ como un subespacio denso de su finalización $\widetilde{M}$.
A continuación, $f$ toma valores en $\widetilde{M}$, a fortiori, la cual se completa en: $$ f:M\longrightarrow \widetilde{M}. $$
Desde $f$ es uniformemente continua, que se extiende de manera única a un uniformemente continua en función de $\overline{M}=\widetilde{M}$ a sí mismo.
La idea básica es que el $f$ es de Cauchy, secuencias, secuencias de Cauchy.
Así que ahora usted puede leer esto para la prueba y la más motivación: http://drexel28.wordpress.com/2010/11/03/extending-uniformly-continuous-functions/. Nota este gran relato es desde el blog de un colaborador de este sitio web.
Para responder a su segunda pregunta, ahora. Si no existe $K>0$ tal que $$ d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y) $$ para todos los $x, y\in M$, entonces la extensión de $\tilde{f}$ satisifies $$ d(\tilde{f}(x)\tilde{f}(y))\leq Kd(x,y) $$ para todos los $x,y\in\widetilde{M}$ por la continuidad y la densidad de $M$$\widetilde{M}$.
De hecho, para todos los $x,y\in\widetilde{M}$ existen secuencias $x_n$, $y_n$ en $M$ que convergen a $x$ $y$ respectivamente, y para el que la desigualdad se cumple. Luego de pasar el límite y el uso de la continuidad de $f$, obtenemos la misma estimación para $\tilde{f}$.
