Resolver ecuaciones polinómicas cuando sepas en qué campo las soluciones en vivo

Question

Supongamos que tiene un montón de ecuaciones polinómicas con coeficientes en un campo numérico y supongo que más estoy garantizada a priori que tienen una solución en ese campo. ¿Puedo aprovechar esos conocimientos en una técnica para resolver las ecuaciones más fácilmente? Los casos que nos importa son sistemas masivamente sobredeterminados de linear y ecuaciones cuadráticas.

Answer 1

Hablando: yo intentaría reducir las ecuaciones modulo varios números primos pequeños (o potencias primeras), resolverlos por la fuerza bruta y luego tratar de levantar a las soluciones en el campo usando el Teorema chino del resto. Podría ser útil combinar esto con resolverlos a alta precisión sobre los números reales (o complejos).

Answer 2

Tengo que decir que esto suena sospechosamente cerca prueba de Matiyasevich del problema 10 de Hilbert (Yuri V. Matiyasevich, décimo problema de Hilbert, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1993). El "yoga" de su prueba es que usted puede tener algunos "Godel codificación" en los sistemas de formas cuadráticas y lineales, que demuestra que para resolver un sistema de tales ecuaciones es difícil desde un punto de vista de la lógica/TCS.

Answer 3

Un comentario menor: si se puede reducir siempre a resolver ecuaciones en una sola variable y en busca de raíces racionales, después usted puede utilizar el Teorema de la raíz racional. Usted puede reducir al caso donde el campo es el rationals fácilmente. (Por ejemplo, si usted empezó buscando raíces en Q(i), escriba todo como a + bi.) Pero no sé que hay alguna buena forma de reducir a las ecuaciones en una sola variable.

Answer 4

Deben ser capaces de utilizar bases de Groebner y teoría de la eliminación para hacerlo, creo. Aunque en el caso de ecuaciones lineales y cuadráticas, no sé cuánta ayuda va a ser.