De cuántas formas podemos elegir tres puntos en un $n\cdot n$ cuadrícula?

Question

Podemos calcular el número de cuadrado o rectángulo en un $n\cdot n$ cuadrícula.

Nº de plazas $=1^2+2^2+3^2+.....+(n-1)^2$

Ninguna de rectángulos $=1^3+2^3+3^3+.....+(n-1)^3$

Así que lo que si queremos calcular el número de todas las posibles cuadrilátero? Podemos optar $4$ puntos de $n^2$ puntos.Pero en ese caso, habrá muchos casos en que $3$ o más puntos será co-lineal.Por lo que estos no serán un verdadero cuadrilátero. Así que tengo que encontrar esas combinaciones de $3$ o más puntos, siendo co-lineal?

Referencias:

Cuántos cuadrados hay en un tablero de ajedrez?

Análisis de cuántos cuadrados y rectángulos hay en un tablero de ajedrez?

Answer 1

Así que lo que si queremos calcular el número de todas las posibles cuadrilátero ?

Considere la posibilidad de $2\times 2$. Considere todas las posibles formas cuadriláteras de áreas específicas y contar el número de maneras (por las rotaciones y reflexiones). Si no me pierdas de cualquier forma, aquí es lo que tengo:

Answer 2

Esta no es una respuesta, pero el número de plazas en una $n \times n$ cuadrícula está dado por $n^2 (n^2 -1)/12$.

Suponga $k$ ( $ 1 \leq k \leq n-1$ ) es el ancho (y altura) de un arbitrario cuadrado mide a lo largo de la $x$ $y$ direcciones de una $n \times n$ cuadrícula. Este apretado `bounding box" puede tener $(n-k)^2$ diferentes posiciones dentro de esa red, mientras que sólo hay $k$ diferentes plazas en ese cuadro, cada uno con un diferente tamaño y orientación. El número total de plazas en la red es por ello

$$\sum_{k=1}^{n-1} (n-k)^2 k = \frac{n^2(n^2-1)}{12}$$.