La limitación de la Distribución de $W_n=\frac{Z_n}{n^2}$ , $Z_n \sim \chi ^2 (n)$

Question

Mi pruebe terminó en un torpe resultado. Pensé que era mejor usar el momento de generación de función (MGF), la técnica. Podemos derivar la MGF de $W_n$ como sigue:

$$ E \left[ e^{tZ /n^2} \right]= \left(1-\frac{2t}{n^2} \right)^{-n/2}$$ from the chi-squared MGF. But the problem is that the limit of that as $n \to \infty$ leaves $1$ y me he quedado perplejo si hice todo bien. He perdido de algo? Gracias.

Answer 1

Su cálculo es correcto. Usted simplemente necesita para interpretarlo. Que la distribución tiene una MGF idénticamente igual a 1?

Como alternativa, el problema puede ser abordado sin usar MGFs. Recordemos que $\chi^2(n)$ la distribución de una suma de $n$ plazas de $N(0,1)$ variables aleatorias. ¿Qué se puede decir acerca de la limitación de la distribución de $$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k^2,$$ si $X_k\sim N(0,1)$?