Maximizar la suma de $a+b$

Question

Si la ecuación de $x^4-4x^3+4x^2+ax+b=0$(donde $a,b$ son reales) ha $2$ distintos positivo raíces $\alpha, \beta$ tal que $\alpha+\beta =2\alpha \beta$, luego de encontrar el máximo valor de $a+b$.

No tengo idea de cómo empiezo a usar la condición dada. También, me parece POSITIVO es una palabra importante aquí. Algunos consejos por favor. Gracias.

Answer 1

$\alpha,\beta$ son raíces de un polinomio $$\tag1x^2-2sx+s$$ for some $s$ with $s>0$ (as $\alpha,\beta>0$) and $s\ne 2$ (as $\alpha\ne \beta$) and $D=4s^2-4>0$ (to have two real solutions). This amounts to $s\en(1,2)\cup (2,\infty)$.

Polinomio de la división del polinomio dado por $(1)$ nos da un resto de $$ \tag2(a + 8s^3 - 20s^2 + 12s)\cdot x + (b -4s^3 + 9s^2 - 4s)$$ y este debe ser cero. Por lo tanto $$a+b = -4s^3+11s^2-8s. $$ El término de la derecha ha derivado $-12s^2+22s-8$, que tiene sus raíces en$s=\frac12$$s=\frac43$. Sólo el segundo de estos nos da un máximo local, y de hecho este es un máximo global en relación a la del dominio $(1,2)\cup(2,\infty)$. Conectando $s=\frac43$ encontramos $$a+b\le -\frac{16}{27}$$ y, de hecho, mirando a $(2)$ coeficientwise, esta obligado, se realiza precisamente para $$a=\frac{16}{27},\quad b=-\frac{32}{27} $$ y en este caso tenemos (hasta el fin) $$ \alpha=2,\quad\beta=\frac23.$$

Answer 2

akech la solución que está mal en la segunda parte, ya que el punto crítico de la $x=\dfrac{2}{3}$ $x(x-2)^2$ no es el punto mínimo,es máximo local en el punto. Usted no puede obtener el resultado en este camino, incluso la respuesta final es el mismo. aquí es el enfoque correcto.

$a+b=-\dfrac{1}{2}(\alpha(\alpha-2)^2+\beta(\beta-2)^2)$

así que necesitamos encontrar el valor mínimo de $(\alpha(\alpha-2)^2+\beta(\beta-2)^2)$

$t=\alpha+\beta=2\alpha\beta>0,(\alpha+\beta)^2\ge 4\alpha\beta \implies t^2\ge 2t \implies t \ge 2 \implies t>2 (\alpha \neq\beta)$

$\alpha(\alpha-2)^2+\beta(\beta-2)^2=(\alpha^3+\beta^3)-4(\alpha^2 +\beta^2)+4(\alpha+\beta)=(\alpha+\beta)(\alpha^2 +\beta^2-\alpha\beta)-4((\alpha+\beta))^2-2(\alpha\beta))+4t=t^3-\dfrac{11t^2}{2}+8t=f(t)$

$f'(t)=3t^2-11t+8=0 \implies t= \dfrac{8}{3}>2, t=1<2$

es fácil comprobar la $t= \dfrac{8}{3}$ es el punto mínimo.