Solucionar $A = (B+C)\cdot \sin(2\cdot \tan^{-1}(C/D))$ $C$ algebraicamente

Question

Me encontré con esta ecuación, mientras que trabajar en cómo colgar un aumento de la puerta mediante la compensación de una bisagra.

$$A = (B + C) \cdot \sin(2 \cdot \tan^{-1}(C / D))$$

Sé que a, B y D y tiene que encontrar la C. no Tener ni idea de cómo acercarse a una solución algebraica, he implementado un sucesivos de aproximación numérica de la solución, que converge muy bien. Sin embargo, me gustaría saber si hay alguna manera de empezar a resolver esto de manera algebraica, donde C es utilizada tanto dentro como fuera de las funciones trigonométricas. ¿Cómo puedo empezar?

Para los curiosos, el trabajo para llegar a este punto, y el acabado aumento de la puerta de la calculadora, están aquí.

Answer 1

vamos a utilizar el hecho de que $$\sin (2t) = \frac{2\tan t}{1 + \tan^2}. $$

deje $\tan^{-1}(c/d) = t.$ $$-\pi/2 \le t \le t, \tan t = c/d. $$ you have $$a = (b+c)\sin (2t) = \frac{2(b+c)c/d}{1+c^2/d^2} $$ that is $$a =\frac{ 2cd(b+c)}{c^2 + d^2} \to (2d-a)c^2+(2bd)c - ad^2= 0$$ is quadratic in $c.$ you can use the quadratic formula to get $c.$