Es decir, el concepto de curvatura es un invariante intrínseco de una superficie.

Question

Deje $M$ ser una de dos dimensiones de Riemann colector, y se supone que $M$ puede ser realizado como una superficie $S$$\mathbb{R}^{3}$.

Yo sé que uno puede calcular la curvatura de Gauss $K$ $M$ como el determinante de la forma del operador de $S$.

Pregunta: ¿Qué sucede si se le da un isométrico de la incrustación de $M$ en algunos de Riemann de tres colector $N \neq \mathbb{R}^{3}$? Se puede calcular $K$ como en el caso clásico?

Answer 1

Usted tendrá un término de corrección dada por la seccional de la curvatura del ambiente $N$ sí. Si $(v,w)$ es un ortonormales base para el plano tangente de $M$ en algún punto de $p$, luego: $$K_M(v,w)= K_N(v,w) + \langle \alpha(v,v),\alpha(w,w)\rangle - \langle \alpha(v,w),\alpha(v,w)\rangle, $$where $\alfa$ is the second fundamental form of $M$ in $$ N. Esto es cierto para todas las dimensiones y codimensions.

En el presente caso se simplifica: desde $M$ tiene dimensión $2$, puede escribir $K_M(p)$ para la Curvatura de Gauss, y si $\nu$ es una unidad de campo normal, y $X$ es una parametrización, puede escribir $\alpha(X_i,X_j)=h_{ij}\nu$$1\leq i,j\leq 2$, se aplican de Gram-Schmidt a $\{X_1,X_2\}$ y conecte todo en la Fórmula de Gauss arriba. Para $\Bbb R^3$, $K_N =0$ de manera que obtendrá la fórmula habitual.

Answer 2

Denotar por $\mathbb{M}^3(c)$ simplemente conectados a la de Riemann $3$espacio, con constante de la sección transversal de la curvatura de la $c=-1,0,1$. Es decir, $\mathbb{M}^3(c)$ denota el espacio hiperbólico $\mathbb{H}^3$ si $c=-1$, el espacio Euclidiano $\mathbb{R}^3$ al $c=0$, o en la esfera $\mathbb{S}^3$ si $c=1$.

Ahora, considere la posibilidad de una orientada a la superficie de Riemann $\Sigma$ con inducida por la métrica $I=\langle,\rangle$ $f:\Sigma\to\mathbb{M}^3(c)$ una inmersión isométrica. Vamos $N$ ser una unidad normal a lo largo de $\Sigma$ que es compatible con la orientación, y $II$ asociado de la segunda forma fundamental. Es decir, $II(X,Y)=\langle-\nabla_X N,Y\rangle$ donde $X,Y$ son suaves campos vectoriales en $\Sigma$ $\nabla$ la de Levi-Civita de la conexión del espacio ambiente.

Si $k_1$, $k_2$ son las principales desviaciones de la inmersión, es decir, los valores propios de la forma del operador $S$, dado por $SX=-\nabla_X N$, entonces vamos a denotar por $$K=k_1k_2,\quad H={1\over 2}(k_1+k_2)$$ la extrínseca y la curvatura de la media de la curvatura de la inmersión, respectivamente. Estas dos cantidades son extrínsecos y dependen de cómo se $S$ está inmerso en $\mathbb{M}^3(c)$.

Por otro lado, se denota por a $K(I)$ la curvatura de la métrica $I$, es decir, la curvatura de Gauss, que es una intrínseca de la cantidad. Para la anterior inmersión $f:\Sigma\to\mathbb{M}^3(c)$ las siguientes relaciones deben ser satisfechos $$K(I)=K+c,\quad\text{(Gauss equation)}$$ $$\nabla_X SY-\nabla_Y SX-S[X,Y] = 0,\quad\text{(Mainardi-Codazzi equation)},$$ donde $\nabla$ es la de Levi-Civita de conexión de la métrica $I$.

Se puede ver con estos ejemplos, el espacio de las formas, que la curvatura de Gauss es el producto de los valores propios de la forma del operador cuando el espacio ambiente es $\mathbb{R}^3$, pero hay un término (el de la sección transversal de la curvatura de la $c$) que modifica en general.