Cómo utilizar las Reglas de Inferencia en una afirmación a partir de dos premisas

Question

El problema es el siguiente: Dadas las premisas x(P (x) Q(x)) y x((¬P (x) Q(x)) R(x)) es cierta, utilice las reglas de inferencia para demostrar que x(¬R(x) P(x)) también es cierta. (Los dominios de todos los cuantificadores son los mismos)

Ahora, tengo una vaga idea de cómo hacer esto y tengo el siguiente trabajo:

(1) x(P (x) Q(x))

Premisa nº 1

(2) x((¬P (x) Q(x)) R(x))

Premisa nº 2

(3) P(a) Q(a)

Instanciación universal en (1)

(4) ¬R(a)

(5) ¬(¬P(a) Q(a))

Modus Tollens universal

(6) P(a) ¬Q(a)

Simplificación de (5)

(7) P(a) P(a)

Resolución de (2) y (6)

(8) P(a)

Simplificación de (7)

(9) ¬R(x) P(x)

Suponiendo (4), implica (8)

(10) x(¬R(x) P(x))

Generalización universal de (9)

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Ahora mi principal problema es cómo tratar el Modus Tollens Universal en (4) y (5). En particular, ¿cómo puedo decir simplemente ¬R(a)? ¿Y cómo paso de ¬R(a) y P(a) a ¬R(x) P(x)? ¿Qué tengo que hacer para que todo esto fluya lógica y correctamente? ¿Me falta algo?

Answer 1

Creo que tendrá que utilizar la instanciación universal en $(2)$ . Como premisa cuantificada universalmente, se puede instanciar con $\,a\,$ como hiciste con la premisa $(1)$ (ya que el dominio de todos los cuantificadores es el mismo), entonces utiliza el modus tollens cuando lo necesites, aplicado al enunciado instanciado y utilizando la suposición $\lnot R$ .

Además, tal y como está numerada actualmente, creo que hay que justificar la resolución por línea $(7)$ citando $(3)$ y $(6)$ (Supongo que te refieres a la resolución a $\,P(a)\,$ dadas las declaraciones $\,\left[P(a) \lor Q(a)\right]\;$ y $\left[P(a) \lor \lnot Q(a)\right].$

La clave aquí es que quieres que tus pasos (actualmente numerados) $4 - 8$ sangrado (para designar un " sub-proof ", donde $(4)$ se enuncia como un "supuesto", entonces $5$ se deduce de $(4)$ y el paso (que pronto se instanciará) resultante de $(2)$ .

Línea $(9)$ debe seguir siendo una declaración sobre la constante $a$ no $x$ como está escrito, citando la subprueba, $(4 - 8)$ (suponiendo (4), obtenemos (8)), es decir $(4)\rightarrow (8)$ subprueba dada $4-8$ .

En $9$ a $10$ entonces, estás en lo cierto, al igual que tu justificación de la generalización universal.

Answer 2

Podemos "racionalizar" un poco la prueba ...

En primer lugar, olvidémonos de los cuantificadores: todas las premisas están universalmente cuantificadas y también la conclusión; por tanto, podemos eliminarlos al principio (con INTERFAZ DE USUARIO ) y añadirlo al final (con UG ).

Por lo tanto, queremos demostrar :

$P ∨ Q, (¬P ∧ Q) → R \vdash ¬R → P$ .

1) $P ∨ Q$ --- premisa

2) $(¬P ∧ Q) → R$ --- premisa

3) $\lnot R → \lnot (¬P ∧ Q)$ --- de 2) por Contraposición

4) $\lnot R$ --- asumido [a]

5) $\lnot (¬P ∧ Q)$ --- de 3) y 4) por Modus Ponens

6) $P \lor \lnot Q$ --- de 5) por De Morgan

7) $\lnot P$ --- asumido [b]

8) $Q$ --- de 7) y 1) por Silogismo disyuntivo

9) $\lnot Q$ --- de 7) y 6) por Silogismo disyuntivo

10) $P$ --- de 7)-9) por Negación Introducción y Doble negación , descargando [b]

11) $\lnot R \rightarrow P$ ---- de 4) y 10), descargando [a].