Parece que no eres la primera a la desesperación de este problema – se ha pedido en varios lugares en la red y nunca recibí respuesta.
Siempre depende de lo que usted llame a una expresión analítica, pero el uso de Lagrange de la inversión puede expresar el residuo en términos de la serie, algunos de los cuales pueden ser escritos como simple integrales sobre modificada de Bessel y funciones de Struve. Los básicos de Lagrange de la inversión de la fórmula a utilizar es
$$k[z^k](\arcsin z)^n=n[z^{-n}](\sin z)^{-k}\;,$$
donde $[z^m]$ denota extraer el coeficiente de $z^m$ en el de la serie de Laurent alrededor de $z=0$. El uso de $\sin (\pi+x)=-\sin x$, podemos escribir el deseado de residuos como residuo en $z=0$:
$$
\def\res#1#2{\operatorname{Res}_{z=#1}\left(#2\right)}
\res{\pi}{z^2\mathrm e^{1/\sen z}}=\res0{(z+\pi)^2\mathrm e^{-1/\sen z}}\;.
$$
Para calcular esto, tenemos que calcular los coeficientes de $z^{-1}$, $z^{-2}$ y $z^{-3}$ en el de la serie de Laurent de $\mathrm e^{-1/\sin x}$. Utilizando la serie de Taylor para $\arcsin z$,
$$\arcsin z=\sum_{m=0}^\infty\frac{(2m)!}{(m!2^m)^2(2m+1)}z^{2m+1}\;,$$
el coeficiente de $z^{-1}$ se obtiene como
$$
\def\hypergeom#1#2#3#4#5{{}_{#1}F_{#2}(#3;#4;#5)}
\begin{eqnarray}
[z^{-1}]\mathrm e^{-1/\sin z}
&=&
[z^{-1}]\sum_k\frac{(-\sin z)^{-k}}{k!}
\\
&=&\sum_k(-1)^k\frac{[z^{-1}](\sin z)^{-k}}{k!}
\\
&=&
\sum_k(-1)^k\frac{k[z^k]\arcsin z}{k!}
\\
&=&
\sum_k(-1)^k\frac{[z^k]\arcsin z}{(k-1)!}
\\
&=&
-\sum_m\frac1{(2m)!}\frac{(2m!)}{(m!2^m)^2(2m+1)}
\\
&=&
-\sum_m\frac1{(m!2^m)^2(2m+1)}
\\
&=&
-\int_0^1I_0(x)\mathrm dx
\\
&=&
-\hypergeom12{\frac12}{1,\frac32}{\frac14}
\\
&\approx&
-1.08652\;,
\end{eqnarray}
$$
donde $I_0$ es la función Bessel modificada de primera clase de la orden de $0$ $F$ es la función hipergeométrica generalizada.
Utilizando la serie de Taylor para $(\arcsin z)^2$,
$$(\arcsin z)^2=\sum_{m=0}^\infty\frac{(m!2^m)^2}{(m+1)(2m+1)!}z^{2m+2}\;,$$
el coeficiente de $z^{-2}$ se obtiene como
$$
\begin{eqnarray}
[z^{-1}]z\mathrm e^{-1/\sin z}
&=&
[z^{-1}]z\sum_k\frac{(-\sin z)^{-k}}{k!}
\\
&=&\sum_k(-1)^k\frac{[z^{-2}](\sin z)^{-k}}{k!}
\\
&=&
\frac12\sum_k(-1)^k\frac{k[z^k](\arcsin z)^2}{k!}
\\
&=&
\frac12\sum_k(-1)^k\frac{[z^k](\arcsin z)^2}{(k-1)!}
\\
&=&
\frac12\sum_m\frac1{(2m+1)!}\frac{(m!2^m)^2}{(m+1)(2m+1)!}
\\
&=&
\frac12\sum_m\frac1{m+1}\left(\frac{m!2^m}{(2m+1)!}\right)^2
\\
&=&
\frac\pi2\int_0^1L_0(x)\mathrm dx
\\
&=&
\frac12\hypergeom23{1,1}{\frac32,\frac32,2}{\frac14}
\\
&\approx&
0.528530\;,
\end{eqnarray}
$$
donde $L_0$ es la modificación de Struve función de orden $0$.
Utilizando la serie de Taylor para $(\arcsin z)^3$,
$$(\arcsin z)^3=6\sum_{m=0}^\infty\frac{(2m+1)!!^2}{(2m+3)!}\sum_{k=0}^m\frac1{(2k+1)^2}z^{2m+3}\;,$$
donde un doble signo de exclamación indica el doble factorial, el coeficiente de $z^{-3}$ se obtiene como
$$
\begin{eqnarray}
[z^{-1}]z^2\mathrm e^{-1/\sin z}
&=&
[z^{-1}]z^2\sum_k\frac{(-\sin z)^{-k}}{k!}
\\
&=&\sum_k(-1)^k\frac{[z^{-3}](\sin z)^{-k}}{k!}
\\
&=&
\frac13\sum_k(-1)^k\frac{k[z^k](\arcsin z)^3}{k!}
\\
&=&
\frac13\sum_k(-1)^k\frac{[z^k](\arcsin z)^3}{(k-1)!}
\\
&=&
-2\sum_m\frac1{(2m+2)!}\frac{(2m+1)!!^2}{(2m+3)!}\sum_{k=0}^m\frac1{(2k+1)^2}
\\
&\approx&
-0.173756\;.
\end{eqnarray}
$$
El deseado de residuos es dada por
$$
\begin{eqnarray}
\res{\pi}{z^2\mathrm e^{1/\sin z}}
&=&
\pi^2\int_0^1\left(L_0(x)-I_0(x)\right)\mathrm dx-2\sum_m\frac1{(2m+2)!}\frac{(2m+1)!!^2}{(2m+3)!}\sum_{k=0}^m\frac1{(2k+1)^2}
\\
&=&
-\pi^2\hypergeom12{\frac12}{1,\frac32}{\frac14}+\pi\hypergeom23{1,1}{\frac32,\frac32,2}{\frac14}
\\
&&-2\sum_m\frac1{(2m+2)!}\frac{(2m+1)!!^2}{(2m+3)!}\sum_{k=0}^m\frac1{(2k+1)^2}
\\
&\approx&
-7.5764\;,
\end{eqnarray}
$$
de acuerdo con su cálculo. Aquí está una evaluación del resultado por Wolfram|Alpha, y aquí está el contorno de integración.
