Creo que he encontrado todas las raíces a $f_k(x)=\sum_{j=1}^k x^j-x^{-j}$ cualquier $k$ - cómo demostrarlo?

Question

Conjetura:

El conjunto de las únicas raíces de $$f_k(x)=\sum_{j=1}^k x^j-x^{-j} \;,\;\; x \not=0$$ está dado por $e^{i \pi \phi_k}$, donde $$\frac{1}{2}\phi_k=\{0, \frac{1}{2}, \underbrace{\frac{\pm1}{k+1},\frac{\pm1}{k},\frac{\pm2}{k+1},\frac{\pm2}{k},\frac{\pm3}{k+1},...}_\text{$k-1$ elements} \}$$

P: Si es verdad, ¿cómo puede esto ser probada?

Yo por desgracia no tengo mucha experiencia con probar cosas (yo soy un físico), por lo que cualquier conocimiento sería muy apreciada!

Esto puede muy bien ser algunos lema, pero pensé que podría ser útil, ya que Mathematica no era capaz de resolver este tipo de ecuación para $k>12$.

Tenga en cuenta que las raíces de $f_k$ son equivalentes a las raíces de $f_{k,n}=\sum_{j=1}^k x^{n+j}-x^{n-j}$. También, si $x \not = 1$ $f_k=\frac{x^{-k}(x^{k}-1)(x^{k+1}-1)}{x-1}$.

El proceso a través del cual he llegado a esta conjetura (por cierto, lo siento si "conjetura" suena pretencioso, pero no sabía qué otra cosa lo llaman), se describe a continuación.

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Sólo para obtener una visión general, aquí es una manera de escribir $f_k=0$:

$$\begin{array}{c|c} k & \\ \hline 1 & x^2-1=0\\ 2 & x^4+x^3-x-1=0 \\ 3 & x^6+x^5+x^4-x^2-x-1=0 \\ \vdots &\vdots \end{array}$$

Me di cuenta de un alto grado de regularidad cuando el trazado de la soluciones.

Las soluciones para los primeros 12 $k$ se muestra a continuación, graficada en el plano complejo.

$\hskip1.4in$

(No tengo idea de por qué Mathematica no reconocen $-1$ como una solución a $f_1$, pero bueno)

Ahora me organizado las soluciones que uno podría ver un patrón:

Si uno mira la lista de las raíces para $k\in \{1,...,12\}$, todos ellos pueden ser escrita como una fase única, $e^{i \pi \phi}$ donde $\phi$ es algún número racional. Por ejemplo, las raíces de $f_2$$\{1,e^{\pm \frac{2}{3} i \pi},-1\}$$\phi_2=\{0,\pm \frac{2}{3},1 \}$. Estoy asumiendo que este patrón continúa indefinidamente.

Todos los $0<\phi<1$ aparece con un aspecto positivo, y un signo negativo, y todos los conjuntos de soluciones de incluir $\phi=\{0,1\}$. La no-negativa y no trivial de ( $0$ $1$ ) los valores de $\phi_{k}$ $k\in \{1,...,12\}$ están incluidas aquí (escrito como la reducción de fracciones, yendo de menor a mayor los valores):

$$\begin{array}{c|c} k & \phi_k \\ \hline 2 & \frac{2}{3}\\ 3 & \frac{1}{2} \;\; \frac{2}{3}\\ 4 & \frac{2}{5} \;\; \frac{1}{2} \;\; \frac{4}{5}\\ 5 & \frac{1}{3} \;\; \frac{2}{5} \;\; \frac{2}{3} \;\; \frac{4}{5}\\ 6 & \frac{2}{7} \;\; \frac{1}{3} \;\; \frac{4}{7} \;\; \frac{2}{3} \;\; \frac{6}{7}\\ 7 & \frac{1}{4} \;\; \frac{2}{7} \;\; \frac{1}{2} \;\; \frac{4}{7} \;\; \frac{3}{4} \;\; \frac{6}{7}\\ 8 & \frac{2}{9} \;\; \frac{1}{4} \;\; \frac{4}{9} \;\; \frac{1}{2} \;\; \frac{2}{3} \;\; \frac{3}{4} \;\; \frac{8}{9}\\ 9 & \frac{1}{5} \;\; \frac{2}{9} \;\; \frac{2}{5} \;\; \frac{4}{9} \;\; \frac{3}{5} \;\; \frac{2}{3} \;\; \frac{4}{5} \;\; \frac{8}{9} \\ 10 &\frac{2}{11} \;\; \frac{1}{5} \;\; \frac{4}{11} \;\; \frac{2}{5} \;\; \frac{6}{11} \;\; \frac{3}{5} \;\; \frac{8}{11} \;\; \frac{4}{5} \;\; \frac{10}{11}\\ 11 & \frac{1}{6} \;\; \frac{2}{11} \;\; \frac{1}{3} \;\; \frac{4}{11} \;\; \frac{1}{2} \;\; \frac{6}{11} \;\; \frac{2}{3} \;\; \frac{8}{11} \;\; \frac{5}{6} \;\; \frac{10}{11}\\ 12 & \frac{2}{13} \;\; \frac{1}{6} \;\; \frac{4}{13} \;\; \frac{1}{3} \;\; \frac{6}{13} \;\; \frac{1}{2} \;\; \frac{8}{13} \;\; \frac{2}{3} \;\; \frac{10}{13} \;\; \frac{5}{6} \;\; \frac{12}{13} \end{array}$$

Ahora me reescribió este (extendiendo por $2$ aquí y allí) para obtener

$$\begin{array}{c|c} k & \phi_k \\ \hline 2 & \frac{2}{3}\\ 3 & \frac{2}{4} \;\; \frac{2}{3}\\ 4 & \frac{2}{5} \;\; \frac{2}{4} \;\; \frac{4}{5}\\ 5 & \frac{2}{6} \;\; \frac{2}{5} \;\; \frac{4}{6} \;\; \frac{4}{5}\\ 6 & \frac{2}{7} \;\; \frac{2}{6} \;\; \frac{4}{7} \;\; \frac{4}{6} \;\; \frac{6}{7}\\ 7 & \frac{2}{8} \;\; \frac{2}{7} \;\; \frac{4}{8} \;\; \frac{4}{7} \;\; \frac{6}{8} \;\; \frac{6}{7}\\ 8 & \frac{2}{9} \;\; \frac{2}{8} \;\; \frac{4}{9} \;\; \frac{4}{8} \;\; \frac{6}{9} \;\; \frac{6}{8} \;\; \frac{8}{9}\\ \vdots & \vdots \end{array}$$

lo que revela claramente el patrón de arriba.

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Aquí están los primeros 100 conjuntos de soluciones:

Y 500:

Answer 1

(1)

Prácticamente se puede hacer de este equivalente a encontrar las raíces de un polinomio (con mayor coeficiente 1). Pick por ejemplo, n=k, entonces usted está tratando con un polinomio que es una función simple, después de todo.

En ese caso puedes probarlo directamente. Para el $s=2k$ raíces se han encontrado escribir: $(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_s)$ y demostrar que este es el mismo polinomio como el tuyo (por la apertura de todos los soportes y la ejecución de las multiplicaciones). Por supuesto, cuando la apertura de los soportes del grupo de las raíces adecuada, de modo que sus cálculos obtener más simple.

Creo que algo que a lo largo de estas líneas de trabajo.

(2)

Otro de idéntica manera de hacerlo:
Si usted toma $x^k \cdot f_k(x)$ usted obtiene un polinomio de grado $2k$ y 0 no es una raíz del polinomio $P(x)$. Así que las raíces de este polinomio son las mismas que las raíces de $f_k(x)$. Ahora se acaba de tomar las raíces y los números se han encontrado y demostrar que P(x) es, de hecho, cero en estas raíces. Eso sería suficiente, puesto que sabemos que un polinomio de grado $2k$ tiene exactamente $2k$ raíces complejas (algunos de ellos pueden ser con frecuencia > 1, pero aunque todavía el total recuento $2k$).

(3)
En realidad, a partir de esta fórmula es la más obvia.
$f_k=\frac{x^{-k}(x^{k}-1)(x^{k+1}-1)}{x-1}$

A partir de aquí se puede concluir que las raíces son la k-ésima raíces de la 1 y la (k+1)-ésimo raíces de 1 en el plano complejo. Así que a partir de esta expresión de la función, que casi no tienen nada que demostrar, es que todas las fórmulas conocidas.

Las raíces de la unidad

Answer 2

Todo sigue de $x^k(x-1)f_k(x)=(x^k-1)(x^{k+1}-1)$