Obtener una ecuación integral equivalente a partir de una dada

Question

Estoy leyendo un artículo y no entiendo algunos de los cálculos. Nos dan una ecuación integral con condiciones de contorno asintóticas

$\rho_+(u)=\frac{1}{2\pi} \int\limits_{|v|>\mu}^{}\mathrm{d}v\,\frac{2\hbar \rho_+(v)}{(u-v)^2+\hbar^2}$

$\rho_+(u)=\ln(|u|)-\frac{1}{2} \ln\left(\Xi\right)+O(u-1),\,u\rightarrow\infty$

$\rho_+$ es una densidad de ceros y $\ln(\Xi)$ puede verse como una densidad de partículas. Pero el significado exacto no es importante para los cálculos posteriores. La primera integral abarca $\mathbb{R}$ exceot el intervalo $[-\mu,\mu]$ donde tenemos $\rho_+=0$ .

Ahora una nueva función $\rho_-$ se define como $\rho_-(u)=\begin{cases} 0 &\mbox{if } |u|\geq\mu \\ -\frac{1}{\pi \hbar}[\rho_+(u)-\frac{1}{\pi}\int\limits_{|v|>\mu}^{}\mathrm{d}v\,\frac{\hbar \rho_+(v)}{(u-v)^2+\hbar^2} & \mbox{if } |u|<\mu \end{cases}$

con lo que podemos reescribir la primera ecuación integral como

$\pi\hbar\rho_- +(1-K_+)\rho_+=0$

con $K_+\rho(u)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} k_+(u-v)\rho(v) \mathrm{d} v$ y $k_+(u)=\frac{1}{\pi} \frac{\hbar}{u^2+\hbar^2}$ .

Hasta ahora todo está claro. Obviamente una función constante es una función propia de $K_+$ con valor propio 1 y así $(1-K_+)$ es invertible. Se dice que un operador $K_-$ puede definirse en funciones que desaparecen en $\infty$ mediante funciones que desaparecen en $\infty$

$1-K_-=(1-K_+)^{-1}$

Esto sigue siendo bastante claro aunque no entiendo muy bien, por qué las funciones deben desaparecer en $\infty$ .

Entonces se dice, que debido a la degeneración del operador $K_+$ , $K_-$ es sólo definida hasta una constante. ¿Qué significa esto? ¿Se debe simplemente al hecho de que toda función constante es una función propia?

Ahora sin cálculos se dice, que el núcleo $k_-(u)$ viene dada por

$k_-(u)=\frac{1}{\pi\hbar} \Psi(1+i\frac{u}{\hbar})+\Psi(1-i\frac{u}{\hbar})+\Delta$

donde $\Psi(u)=\Gamma\,'(u)/\Gamma(u)$ es la función digamma.

Sólo se dice, que esto se puede obtener fácilmente por la transformada de Fourier. No tengo muchos conocimientos sobre ecuaciones integrales y no veo cómo se puede obtener este resultado. ¿Podría alguien mostrarme?

Tengo algunas otras preguntas relacionadas con los siguientes cálculos, pero quizá me detenga aquí hasta que se resuelva este problema.

Answer 1

Comenzamos con el Distribución lorentziana

$$ \tag{4.11} k_{+}(u)~:=~ \frac{1}{\pi} \frac{\eta}{u^2+\eta^2}; $$

con la transformada de Fourier

$$ \tag{4.11'} \tilde{k}_{+}(x) ~:=~\int_{\mathbb{R}}\!du ~e^{-ixu} k_{+}(u)~=~e^{-\eta|x|}; $$

con el operador integral

$$ \tag{4.10} (K_{\pm}\rho)(u)~:=~\int_{\mathbb{R}}\!dv~ k_{\pm}(u-v)\rho(v) ~=~(k_{\pm}\ast\rho)(u). $$

El operador transformado de Fourier es un operador de multiplicación

$$ \tag{4.10'} (K_{\pm}\rho)^{\sim}(x)~:=~\tilde{k}_{\pm}(x) \tilde{\rho}(x). $$

La aplicación repetida del operador integral da lugar a convoluciones repetidas

$$ \tag{A} (K_{\pm}^n\rho)(u) ~=~(\underbrace{k_{\pm}\ast\ldots \ast k_{\pm}}_{n\text{ factors}}\ast\rho)(u), \qquad (K_{\pm}^n\rho)^{\sim}(x)~:=~\tilde{k}_{\pm}^n(x) \tilde{\rho}(x). $$

Obsérvese que para una función constante $\rho \propto 1$ es una función propia con valor propio 1 para el operador integral $K_{+}$ :

$$\tag{B} (K_{+} 1)(u) ~=~\int_{\mathbb{R}}\!dv~ k_{+}(u-v)~=~1. $$ Como queremos que el operador $1-K_{+}$ sea invertible, a partir de ahora sólo consideraremos funciones integrables $\rho:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ , de tal manera que $\int_{\mathbb{R}}\!du~\rho(u)=0$ . En particular, excluiremos las funciones constantes $\rho \propto 1$ . Esto significa que los núcleos $k_{\pm}(u)\to k_{\pm}(u)+\Delta_{\pm}$ sólo se definen en función de las constantes aditivas $\Delta_{\pm}$ .

Además,

$$\tag{C} 1-K_{-} ~=~ \frac{1}{1-K_{+}}~=~\sum_{n=0}^{\infty}K_{+}^n ,$$

y por lo tanto, ingenuamente,

$$\tag{D} \tilde{k}_{-}(x)~=~\left(1- \frac{1}{\tilde{k}_{+}(x)}\right)^{-1} ~=~\frac{1}{1-e^{\eta|x|}} . $$

Sin embargo, la expresión (D) no es integrable en $x=0$ . La solución es regularizar $k_{-}(u)$ con una constante aditiva infinita $\Delta_{-}=\int_{\mathbb{R}}\!\frac{dx}{2\pi}~\frac{e^{-\eta|x|}}{\eta|x|}=\infty$ para que

$$ k_{-}(u)~=~ \int_{\mathbb{R}}\!\frac{dx}{2\pi} \left[\frac{e^{-\eta|x|}}{\eta|x|}+ \frac{e^{ixu}}{1-e^{\eta|x|}}\right] ~=~\int_{0}^{\infty}\!\frac{dx}{\pi} \left[\frac{e^{-\eta x}}{\eta x} +\frac{\cos(xu)}{1-e^{\eta x}} \right]$$

$$\tag{E} ~\stackrel{t=\eta x}{=}~\sum_{\pm}\int_{0}^{\infty}\!\frac{dt}{2\pi\eta} \left[\frac{e^{-t}}{t}+\frac{\exp\left(\pm\frac{ iut}{\eta}\right) }{1-e^{t}}\right]~=~\frac{1}{2\pi\eta}\sum_{\pm}\psi(1\pm\frac{iu}{\eta}), $$

Véase el Función Digamma y la ecuación de Abramowitz y Stegun (6.3.21). Obsérvese que la fórmula final (E) difiere de la fórmula de Sklyanin (4.12) en un factor 2 en la normalización general.

Referencias:

1. E.K. Sklyanin, La cadena cuántica Toda Lecture Notes in Physics, 226 (1985) 196.