Actualmente estoy tomando mi primer curso de álgebra abstracta y estoy aprendiendo acerca de grupo de acciones, de las órbitas, y los estabilizadores. Estoy leyendo el Artin libro de texto y no tengo muy claro de qué es exactamente un grupo de acción nos permite hacer, de lo que parece, y por qué es importante. Sé que las dos propiedades que deben ser satisfechos para ser un grupo de acción, pero yo no entiendo la utilidad de ella todavía. He visto algunos videos de ellos y leer un par de otras secciones de algunos textos, pero todavía no estoy muy claro. ¿Alguien tiene alguna simples ejemplos claros para entender grupo de acciones, estabilizadores, y las órbitas? Sería muy apreciado.
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Gregory Grant
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Considerar, por ejemplo, la acción de la $\Bbb Z\times\Bbb Z$ en el avión $\Bbb R^2$$(m,n)(x,y)=(x+m,y+n)$. La órbita de un punto es un entramado en $\Bbb R\times\Bbb R$. Y la unidad de la plaza de $[0,1)\times[0,1)$ es un conjunto de representantes, un punto por cada órbita. La acción identifica a un lado de ese cuadrado con el lado opuesto. Ahora, si tomamos un cuadrado y de identificar los lados opuestos gusta, usted obtiene un toro. Así que la órbita en el espacio de esta acción es de un toro. Ahora tienen al toro como una órbita espacio nos permite identificar ciertas propiedades estructurales de la misma y nos da un buen mapa continuo de $\Bbb R^2$ al toro obtenidos mediante la asignación de un punto de $p\in\Bbb R^2$ a de su órbita.
Dietrich Burde
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Un ejemplo popular es la acción de la modulares grupo $SL(2,\mathbb{Z})/\pm I$,actuando en la mitad superior del plano de $\mathbb{H}^2$ por transformaciones de Moebius. Esto da muchas pistas sobre el propio grupo. Para el ejemplo anterior ver las notas de K. Conrad en el sistema modular de grupo, o en la $SL(2,\mathbb{Z})$, lo que da un montón de interesantes resultados en $SL(2,\mathbb{Z})$, el uso de acciones del grupo.
