La comprensión de la solución de una suma telescópica $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n(n+3)}$

Question

Estoy teniendo problemas para entender secuencia infinita de la serie y como se relaciona con el cálculo, pero creo que lo estoy logrando.

Para el siguiente problema:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n(n+3)}$$

La solución muestra romper esta en una suma de fracciones parciales. Entiendo cómo llegaron los dos primeros términos, pero, a continuación, se muestran las fracciones parciales de la $n$ términos y me encuentro perdido.

Aquí es el de qué estoy hablando:

$$S_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{3}{i(i+3)}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+3} \right)$$

El próximo pocos términos han demostrado ser este:

$$=\left(1-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{7}\right)+..+$$

Y continúa, pero esta es la parte donde me confundo...

$$\left(\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n+1}\right)+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+2}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\right)$$

Cuando hice el $n$ términos en el denominador?

Answer 1

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n(n+3)}=\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^{k}\frac{3}{n(n+3)}=$$ $$=\lim_{k\to\infty}\left(\frac{11}{6}-\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}\right)\right)=\frac{11}{6}$$ porque $$\sum_{n=1}^{k}\frac{3}{n(n+3)}=\sum_{n=1}^{k}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\right)=\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n+3}=$$ $$=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\sum_{n=4}^{k}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n+3}=\frac{11}{6}+\sum_{n=4}^{k}\frac{1}{n}-\sum_{j=4}^{k+3}\frac{1}{j}=$$ $$=\frac{11}{6}+\sum_{n=4}^{k}\frac{1}{n}-\left(\sum_{j=4}^{k}\frac{1}{j}+\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}\right)=$$ $$=\frac{11}{6}-\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}\right)$$