Cómo integrar esta Gaussiano como ecuación: $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-x^2}}{z-x}dx, z \in \mathbb{C}$?

Question

Alguien podría mostrarme cómo realizar esta integral $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-x^2}}{z-x}dx, z \in \mathbb{C}$$ Gracias. La siguiente es lo que he intentado.

Set $z = iz^\prime$, también hacen que la sustitución de $v = iz^\prime - x$, luego $$-e^{z^{\prime 2}}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-v^2+2ivz^\prime}}{v}dv.$$ Entonces podemos establecer $f(z) = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-v^2+2ivz}}{v}dv$, por lo que $$f^\prime(z) = 2i\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-v^2+2ivz}}dv =2ie^{-z^2}.$$ También tenemos $f(0) = 0$. Entonces $$f(z) = \int_0^z f^\prime(z)dz=i\int_{-z}^z e^{-t^2}dt=i\mathrm{erf}(z).$$ Así que el resultado final debe ser como $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-x^2}}{z-x}dx = -ie^{-z^2}\mathrm{erf}(-iz).$$ Pero la respuesta es $e^{z^2}(1-\mathrm{erf}(z))$. Parece que la respuesta es errónea, ya que al $z=0$, el valor debe ser 0 ya que el integrando es una función impar. Pero luego probé con el wollfram alfa, El resultado es

El resultado está en concordancia con la respuesta. Sé que hay algunos pasos que no son rígidas, podría alguien darme el pleno de la derivación de este problema? Gracias.

Answer 1

Asumiendo $z\not\in\mathbb{R}$, la integral dada es igual a

$$ \int_{0}^{+\infty}\frac{2z}{z^2-x^2}e^{-x^2}\,dx \stackrel{x\mapsto\sqrt{u}}{=}z\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-u}}{\sqrt{u}(z^2-u)}\,du $$ que sólo depende de la transformada de Laplace de $\frac{1}{\sqrt{u}(z^2-u)}$, que puede ser calculada a partir de la transformada de Laplace de $\frac{2}{z}\text{arctanh}\left(\frac{\sqrt{u}}{z}\right)$ o, simplemente, a partir de la transformada de Laplace de $\text{arctanh}(\sqrt{u})$.