¿Qué todos los ciclos $k$ $S_n$ generar?

Question

¿Por qué no $3$-ciclos de generar el grupo simétrico? se le preguntó a día de hoy. La prueba es esencialmente $3$-ciclos son incluso permutaciones, y los productos de incluso las permutaciones son incluso.

Así que: ¿el $3$-ciclos de generar la alternancia de grupo? Del mismo modo, hacer la $k$-ciclos de generar la alternancia grupo de al $k$ es impar?

Y hacer la $k$-ciclos de generar el grupo simétrico al $k$ es aún? Sé que transposiciones ($2$-ciclos) generar el grupo simétrico.

Answer 1

Si $n\geq5$, entonces los subgrupos sólo normales del grupo simétrico $S_n$ están el Grupo trivial, el grupo que se alterna y el simétrico del grupo sí mismo. Puesto que el $k$-ciclos forman una clase GACION completo, se deduce que el subgrupo que generan es normal. Esto determina todo si $n \geq 5$.

Más específicamente: los ciclos $k$ $S_n$ generar el grupo que se alterna si $k$ es impar y $k \ne 1$; que generan el grupo simétrico completo si es $k$.

Answer 2

Sí, k-ciclos de generar el grupo simétrico cuando k es par y la alternancia de grupo, cuando k es impar. Como usted ha dicho, para k=2 se sabe la respuesta. Supongamos que k>2.
(1,2,...,k)(k,...,3,1,2)=(1,3,2)
Del mismo modo, usted puede conseguir cualquier 3-ciclo.

Supongamos que a es incluso elemento de Sn. Entonces, como ustedes saben, es un producto
$(k_1,k_2)(k_3,k_4)...(k_{4l-1},k_{4l})$
de 2l transposiciones. Pero producto de 2 transposiciones puede ser escrito utilizando 3-ciclos:
$(k_1,k_2)(k_2,k_3)=(k_1,k_2)(k_2,k_3)*(k_2,k_3)(k_3,k_4)$.
Cualquiera de los dos productos, separados por * en el lado derecho, es un 3-ciclo o de la unidad.

Si a es impar y k es par, de una multiplicado por cualquier k-ciclo es par, entonces podemos aplicar el algoritmo anterior.