Si $f,g$ son todo funciona tal que $f(g(z))=0, \forall z,$ $g$ es constante o $f(z) =0, \forall z \ ?$

Question

Deje $f,g$ ser toda funciones que $f(g(z))=0, \forall z.$ Podría alguien aconsejarme sobre cómo probar/refutar: $g(z)$ es constante o $f(z) =0, \forall z \ ?$

Sugerencias será suficiente, gracias.

Answer 1

Si $g$ no es constante, entonces $U=g(\Bbb C)$ es un subconjunto abierto, y $f |_U=0$, obtenemos $f=0$.

Answer 2

Supongamos $f(z)$ no es idéntica a cero. A continuación, $f(z_0) \neq 0$ algunos $z_0$. El rango de $g$ no puede contener $z_0$, porque de lo contrario $f \circ g$. Pero $f$ es continua en a $z_0$, por lo que es distinto de cero es un pequeño conjunto abierto en torno a $z_0$. $g$ es toda una función, por lo tanto es constante o su imagen es denso en $\mathbb{C}$; el último no es posible (su cierre no puede contener $z_0$), por lo que es constante.

Answer 3

Supongamos $g$ no es constante, $f$ no es idénticamente cero, y $f \circ g$ es idéntica a cero. Desde $f$ es todo y no es idénticamente cero, su ajuste a cero, es discreta (es decir, no tiene límite de puntos). Desde $g$ no es constante, llegamos a la conclusión de que $g$ mapas de $\mathbb{C}$ sobre un conjunto discreto que tiene más de un punto. ¿Por qué es esto imposible?

Answer 4

Otra forma de hacerlo: Suponga que el $g$ no es constante, en particular,$g'\neq 0$:
Como $f\circ g=0$, luego por derivación llegamos $g'\times (f'\circ g)=0$, pero el anillo de entires funciones ( $\Bbb C$ conectado) es una parte integral de dominio, se sigue que la $f'\circ g=0$, otra derivación llegamos $g'\times (f''\circ g)=0$, por lo tanto $f''\circ g=0$, por el mismo argumento podemos demostrar que para todos los $n\in \Bbb N$; $f^{(n)}\circ g=0$.
Ahora vamos a $a\in \Bbb C$$b=g(a)$, ya que el $f$ es analítica, tenemos : $$\forall z\in \Bbb C\ \ \ f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{n}(b)}{n!}(z-b)^n=0$$ debido a $f^{(n)}(b)=f^{(n)}(g(a))=0$