Pregunta acerca de la convergencia de la secuencia de

Question

Definir $$ X := \left \{ (a_n)_{n=0}^\infty :\sum_{n =0}^\infty |a_n| < \infty \right \} $$ con métricas $$ d_{l^1}((a_n)_{n=0}^\infty,(b_n)_{n=0}^\infty) := \sum_{n=0}^\infty |a_n - b_n| $$ $$ d_\infty((a_n)_{n=0}^\infty,(b_n)_{n=0}^\infty) := \sup_{n\geq 0} |a_n-b_n| $$

Quiero mostrar que estos indicadores no son equivalentes. Y aquí está mi "prueba" de que. No estoy seguro de si esto es correcto.

Deje $(x^{(n)})_{n=0}^\infty$ ser una secuencia en $X$ tal que $$ x^{(n)}_k := \begin{cases} \frac 1 n & \text{ if } k \leq n \\ 0 & \text{ if k > n } \end{casos} $$ Definir la $\tilde{x} \in X$ $\tilde{x}_k = 0 $ todos los $k \in \mathbb N$. Entonces $$ \lim_{n \rightarrow \infty} d_\infty (x^{(n)},\tilde{x}) = \lim_{n \rightarrow \infty} |1/n| = 0 $$ such that $(x^{(n)})_{n=0}^\infty$ converges to $\tilde{x}$ with respect to $d_\infty$. Supongamos ahora que existe algún (otro) secuencia $\tilde{x} \in X$ tal que $\lim_{n \rightarrow \infty} d_{l^1}(x^{(n)},\tilde{x}) = 0$. Entonces tenemos $$ 0=\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^n |1/n - \tilde{x}_k| + \sum_{k=n+1}^\infty |\tilde{x}_k| $$

Ahora podemos dividir el límite y el término derecho se $0$ porque $\tilde{x} \in X$ y por lo tanto el cero de la prueba de la reclamación de la siguiente manera. Pero no estoy seguro de cómo mostrar que el término izquierda no es $0$.

Answer 1

Permítanme ligeramente redefinir su $x^{(n)}$ dejando $x^{(n)}_k=\frac1n$ si $k<n$ $0$ lo contrario. Entonces

$$d_{\ell^1}\left(x^{(n)},\tilde x\right)=\sum_{k\ge 0}\left|x^{(n)}_k\right|=n\cdot\frac1n=1$$

para todos los $n\in\Bbb N$, lo $\left\langle x^{(n)}:n\in\Bbb N\right\rangle\not\to\tilde x$ en la topología generada por $d_{\ell^1}$. Por lo tanto, $d_{\ell^1}$ $d_\infty$ generar diferentes topologías en $X$, ya que (como se demostró) $\left\langle x^{(n)}:n\in\Bbb N\right\rangle\to\tilde x$ en la topología generada por $d_\infty$. No es necesario demostrar que las $\left\langle x^{(n)}:n\in\Bbb N\right\rangle$ no es convergente en todo con respecto a $d_{\ell^1}$, que es lo que parecen estar tratando de hacer.

De hecho, es cierto que $\left\langle x^{(n)}:n\in\Bbb N\right\rangle$ no es convergente con respecto a $d_\infty$. Supongamos que $\tilde x\ne\hat x\in X$, por lo que el $\hat x_m\ne 0$ algunos $m\in\Bbb N$. A continuación, para todos los $n\ge m$ hemos

$$d_{\ell^1}\left(x^{(n)},\hat x\right)\ge\left|\frac1n-\hat x_m\right|\;,$$

y $$\left|\frac1n-\hat x_m\right|~\underset{n\to\infty}\longrightarrow~\left|\hat x_m\right|>0\;,$$

así que la secuencia no converge para cualquier no-cero de la secuencia.

Answer 2

Usted está en la pista de la derecha hasta casi el final. Tenga en cuenta que $|x^{(n)}_k-\tilde{x}_k|\leq d_{\ell^1}(x^{(n)},\tilde{x})$ por cada $k$, lo $x^{(n)}_k\to \tilde x_k$ por cada $k$, lo que implica $\tilde x_k=0$ por cada $k$. Entonces, ¿qué es $d_{\ell^1}(x^{(n)},\tilde x)$?