No hay ningún algoritmo general para determinar cuándo una teoría es consistente. Que es un tema enorme que incluye la incompletitud de Gödel teoremas. Pero su pregunta es más fácil.
En la aritmética de Peano (con los axiomas declaró el uso de $+,\times$) una función exponencial $x^y$ se puede definir por recursión $x^0=1$$x^{s(y)}=x\times x^{y}$. Los axiomas de demostrar que es posible definir las funciones de la recursión. Así que si usted cree (como casi todo el mundo lo hace) que la aritmética de Peano (con los axiomas declaró el uso de $+,\times$) es consistente, entonces usted debe creer que la extensión con que la función exponencial es consistente.
Desde su pregunta menciona las reglas básicas de la aritmética me contestó en los términos de la Aritmética de Peano. Si usted simplemente desea coherencia con el campo axiomas de la cuestión es más simple aún: El campo de los números enteros modulo 2 demuestra la consistencia de los axiomas más $x^1=x$$x^0=1$, dando un modelo finito. Pero esto incluye muy poco de la aritmética y, en particular, no incluye a $x^{(y+z)}=x^y\times x^z$. Consulte "finito" en la Wikipedia.
