Hay una forma más elegante de la informática $\int \frac{1}{\sin(x)}dx$$\int \frac{1}{\cos(x)}dx$?

Question

Tanto las integrales se pueden resolver por sustitución, y aunque me siento cómodo con que, en ambos casos me parece el método insoportablemente feo, sobre todo porque hay cientos de abiertamente factible sustituciones (y el correspondiente factor del denominador y el numerador se multiplica por) cuando usted mira la integral para la primera vez, y lo que sucede a trabajar deben ser memorizados, ya sea por rutina o por experiencia en el uso de la misma.

Hay un más rápido o estéticamente más atractivo método para calcular estos (tipos de) las integrales que "las fuerzas de la respuesta sobre ti', en mayor medida, por lo que la solución no requiere de ráfagas de conocimiento o experiencia previa, y se puede aplicar en general a muchos tipos de torpe de las integrales trigonométricas? Algo más complejo de análisis, tal vez?

O estoy pidiendo matemáticas para ser un poco demasiado fácil para mí?

Answer 1

Creo que la simplicidad manera es$$\int\frac{dx}{\cos x}=\int\frac{\cos x dx}{\cos^2 x}=\int\frac{d(\sin x)}{1-\sin^2 x}=\int\frac{dz}{1-z^2}=\frac{1}{2}\left(\int\frac{dz}{1-z}+\int\frac{dz}{1+z}\right)$$ Now these are easy to calculate. The same method works for the other integral also. Generally if you have a integral like $$\int\frac{dx}{\cos x\cdot F(\sin x)}$$ where $F$ is some nice polynomial ( like product of linear and quadratic factors), then you can use the same trick to convert the integral into the form$$\int\frac{dz}{(1-z^2)\cdot F(z)}$$ y tratar de resolverlo mediante el método de fracciones parciales.

Answer 2

No hay un estándar truco para un número de integrales trigonométricas: sustituto $z = \tan(x/2)$. Por molienda a través de las identidades trigonométricas, usted puede obtener los hechos como

• $2\,dz = (1 + z^2)\, dx$
• $\cos(x) = 2/(1 + z^2) - 1$

y tal. Esto convierte la integral en una función racional, y puede aplicar los métodos estándar. (por ejemplo, parcial fracciones)

Answer 3

Otro enfoque puede ser:

Supongamos que tenemos $\int R(\sin(x),\cos(x))~dx$ donde $R$ es una función racional respecto a $\sin(x), \cos(x)$. Entonces tenemos las siguientes subestaciones también: $$R(-\sin(x),\cos(x))\equiv -R(\sin(x),\cos(x))\Longrightarrow t=\cos(x)\\\ R(\sin(x),-\cos(x))\equiv -R(\sin(x),\cos(x))\Longrightarrow t=\sin(x)$$

Para otros y en general de los casos usted puede usar lo que @Hurkyl sugerido.

Answer 4

Antiderivatives de $1/\sin x$ $1/\cos x$ son conocidos y generalmente se presenta en una tabla de antiderivatives. Ver aquí por ejemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_trigonometric_functions