¿Cómo puedo demostrar que la suma $\sqrt 2+\sqrt[3] 3$ ¿es un número irracional?
Si $x=\sqrt{2}+\sqrt[3]3$ entonces
$$(x-\sqrt{2})^3=x^3-3\sqrt{2}x^2+6x-2\sqrt{2}=3$$
Así,
$$x^3+6x-3=\sqrt{2}(3x^2+2)$$
Y
$$\frac{x^3+6x-3}{3x^2+2}=\sqrt{2}$$
Pero si $x$ es un racional, entonces también lo es el lado izquierdo de la igualdad anterior. Sin embargo, sabemos que $\sqrt{2}$ no es racional. La contradicción, así $x$ es irracional.
La noción de número entero algebraico no es tan complicada, y creo que vale la pena conocer esta implicación. En esta respuesta En este caso, sólo utilizo la identidad de Bezout y algo de álgebra para demostrar que un entero algebraico racional es realmente un entero. La prueba es sólo un poco más complicada algebraicamente que la prueba de que $\sqrt2$ es irracional.
Si $x=\sqrt2+\sqrt[3]3$ entonces $$ \begin{align} 3 &=(x-\sqrt2)^3\\ &=x^3-3\sqrt2x^2+6x-2\sqrt2\\ (x^3+6x-3)^2&=2(3x^2+2)^2\\ 0&=x^6-6x^4-6x^3+12x^2-36x+1 \end{align} $$ Así, $x$ es un número entero algebraico. Como $2\lt x\lt3$ , $x\not\in\mathbb{Z}$ Así que $x\not\in\mathbb{Q}$ . En esta respuesta se demuestra que un racional entero algebraico es un número entero.
Enfoque alternativo
Si $x=\sqrt2$ y $y=\sqrt[3]3$ entonces $x^2-2=0$ y $y^3-3=0$ . Por lo tanto, tanto $x$ y $y$ son enteros algebraicos. Por lo tanto, $x+y=\sqrt2+\sqrt[3]3$ también es un entero algebraico.
Obsérvese que este enfoque, aunque parece más sencillo, requiere saber que la suma de dos enteros algebraicos es de nuevo un entero algebraico. Este hecho puede demostrarse utilizando algo de álgebra lineal.
Soy relativamente nuevo aquí, y tú tienes mucha más reputación que yo, así que dudo en preguntar, pero realmente me gustaría saberlo, así que esta es una pregunta seria. ¿Esta respuesta le da al OP demasiada información? Intenté en mi respuesta ayudar un poco pero forzar al OP a hacer más trabajo por su cuenta.
@robjohn +1 Para la última línea, también es posible dejar que $x=\frac pq$ y demostrar directamente $p|1$ y $q|1$ Por lo tanto, es una contradicción.
@RoryDaulton: No dude en preguntar por la reputación de nadie (ver este hilo meta ). He pensado un poco en esto y, a menudo, si considero que una pregunta es un problema de tarea, dejo una pista. Sin embargo, a veces dejo una respuesta más completa cuando la pista que daría sería demasiado críptica, o si una respuesta más completa no aporta mucho más. En este caso, la pista no daría mucho más que el cubo de la cuadratura de un polinomio. Puede que haya juzgado mal. Gracias por tu comentario; afectará a mis decisiones en el futuro.
A continuación se presenta una solución utilizando algunas nociones (básicas) de la teoría de extensiones de campo:
Supongamos que $\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ es racional. Entonces $\sqrt[3]{3}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ Por lo tanto $\sqrt[3]{3}$ es una raíz de algún polinomio cuadrático sobre $\mathbb{Q}$ lo que lleva a una contradicción, ya que el polinomio $x^3-3$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ .
La misma idea puede expresarse utilizando sólo términos elementales. Sea $a$ sea un número racional, y observe que $a-\sqrt{2}$ es una raíz del polinomio racional $x^2-2ax+a^2-2$ . Por lo tanto, si $\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ es racional, se deduce que $\sqrt[3]{3}$ es una raíz de un polinomio racional cuadrático, lo cual es una contradicción ya que $x^3-3$ es irreducible.
Utiliza estos datos:
$$(\sqrt 2 + \sqrt[3]3) \cdot (-\sqrt 2 + \sqrt[3]3) = -2 + \sqrt[3]9$$
$$(-2 + \sqrt[3]9) \cdot [(-2)^2 - (-2)\sqrt[3]9 + (\sqrt[3]9)^2] = (-2)^3 + (\sqrt[3]9)^3 $$
Ese último número es racional.
Utilizando estos hechos, encuentre un polinomio de grado 6 con coeficientes integrales para el que $\sqrt 2 + \sqrt[3]3$ es una raíz. Entonces, utilizando el teorema de la raíz racional , demuestre que cualquier raíz de ese polinomio es irracional.
Haznos saber si necesitas más ayuda para encontrar ese polinomio.
AÑADIDO: La respuesta de Robjohn ofrece una forma más sencilla de encontrar un polinomio de 6º grado apropiado.
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Si fuera racional, entonces $\sqrt[3]{3} \in \Bbb Q(\sqrt 2)$ .
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Relacionado con esto: math.stackexchange.com/questions/1785159 , math.stackexchange.com/questions/890821