Congruencias con el primer número y factorial

Question

Probar que si $p\equiv 1 \pmod{4}$ es un número primo y $$x\equiv \pm \left(\frac{p-1}{2}\right)! \pmod{p}$$ a continuación, $x^2\equiv -1 \pmod{p}$

Creo que del teorema de Wilson va a venir bien aquí, utilizado en algunos, de forma inteligente, pero no lo veo. Yo estaría muy agradecido por cualquier ayuda.

Answer 1

El uso del teorema de Wilson y $p \equiv 1 \pmod{4}$ da

$$-1 \equiv (p-1)! \equiv \prod_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}{i(p-i)} \equiv \prod_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}{(-i^2)} \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}}\left[\left(\frac{p-1}{2}\right)!\right]^2 \equiv \left[\pm\left(\frac{p-1}{2}\right)!\right]^2 \pmod{p}$$