¿Cuáles son algunos consejos/técnicas que podrían ayudarme a resolver esta (brutal) ecuación diferencial?

Question

Llevo dos años trabajando en un problema de física que implica una ecuación diferencial. Últimamente he hecho algunos progresos, pero me he encontrado con otro obstáculo, concretamente una integral que no tengo ni idea de cómo calcular. ¿Cuáles son algunos consejos o técnicas que podrían ayudarme a evaluarla? He tenido problemas con ella porque nunca he tomado una clase de ecuación diferencial, aunque también soy consciente de que este es un problema difícil en sí mismo (ecuación no lineal de segundo orden). Nota: NO quiero la solución del problema, sólo las herramientas para resolverlo yo mismo.

Este es el problema:

Hay un cuerpo masivo fijo en el origen y otro objeto en el eje x con cierta velocidad inicial en la dirección x. Encuentra una ecuación que describa la posición del objeto en órbita con respecto al tiempo.

Aquí está mi trabajo hasta ahora. Hazme saber si he cometido algún error. Ten en cuenta que a es la derivada de v, que es la derivada de r, y G,M y m son constantes.

Comienza con $F=ma$

La fuerza gravitatoria entre dos objetos es $$F_g=-\frac{GMm}{r^2},$$ así que $$-\frac{GMm}{r^2}=ma$$ y $$-\frac{GM}{r^2}=a.$$

Ahora, $$a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dr}\frac{dr}{dt}=v\frac{dv}{dr},$$ así que $$-\frac{GM}{r^2}=v\frac{dv}{dr}$$ $$-\frac{GM}{r^2}dr=vdv$$ Integrando ambos lados obtengo $$\int_{r_o}^{r}-\frac{GM}{r^2}dr=\int_{v_o}^{v}vdv$$ donde $r_o$ y $v_o$ son el radio y la velocidad iniciales. Esto se convierte en $$\frac{GM}{r}-\frac{GM}{r_o}=\frac{1}{2}(v^2-v_o^2)$$ $$\pm\sqrt{\frac{2GMr_o-2GMr+v^2_or_or}{rr_o}}=\frac{dr}{dt}$$ $$\pm\int_{r_0}^{r}\sqrt{\frac{r_or}{2GMr_o-2GMr+v^2_or_or}}dr=\int_{0}^{t}dt$$ $$\pm\int_{r_0}^{r}\sqrt{\frac{r_or}{2GMr_o-2GMr+v^2_or_or}}dr=t$$ Lo cual es obsceno.

No tengo ni idea de cómo hacerlo. He intentado reescribirlo de todas las formas posibles sin mucha suerte. ¿Qué puedo hacer?

Answer 1

$$\ \int_{r_0}^{r}\sqrt{\frac{r_0r}{2GMr_0-2GMr+v_0^2r_0r}}dr=$$ $$\ =\sqrt{\frac{r_0}{v_0^2r_0-2GM}}\int_{r_0}^{r}\sqrt{\frac{r}{\frac{2GMr_0}{v_0^2r_0-2GM}+r}}dr$$

Donde asumí que $\ v_0^2r_0>2GM$ . Ahora, establece $$\ \beta=\sqrt{\frac{r_0}{v_0^2r_0-2GM}}$$ $$\ \alpha=\frac{2GMr_0}{v_0^2r_0-2GM}$$

Así que hay que lidiar con este tipo de integral: $$\ \beta\int_{r_0}^{r}\sqrt{\frac{r}{\alpha+r}}dr$$ Ahora pon $$\ \sqrt{\frac{r}{\alpha+r}}=s \implies \frac{r}{\alpha+r}=s^2$$ Entonces $$\ \frac{\alpha}{(\alpha+r)^2}dr=2sds$$ Además: $$\ r=(\alpha+r)s^2\implies r=\frac{\alpha s^2}{1-s^2}\implies dr=\frac{2\alpha s}{(1-s^2)^2}$$ Así que la integral es: $$\ \beta \int_{\phi(r_0)}^{\phi(r)}s\cdot \frac{2\alpha s}{(1-s^2)^2}ds=$$ $$\ 2\alpha \beta \int_{\phi(r_0)}^{\phi(r)} \frac{s^2}{(1-s^2)^2}ds$$ Ahora en esta forma debería ser más fácil

Answer 2

Desde $$2GM\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right) = \dot{r}^2-v_0^2,$$ set $r = 1/u$ (esto es lo más importante que hay que recordar para los problemas con $1/r^2$ fuerzas) entonces $$ \dot{r} = -\frac{\dot{u}}{u^2},$$ así que $$2GM\left(u_0-u\right) = \frac{\dot{u}^2}{u^4} + v_0^2. $$ Entonces, reordenando, $$ 1 = \frac{\dot{u}^2}{u^4(v_0^2+2GM(u_0-u))} $$

Ahora sólo tienes que encontrar $$ \int \frac{dx}{x^2\sqrt{1-x}} $$ y reescalar para obtener la integral correcta.

(Pista: el denominador se factoriza como una diferencia de dos cuadrados, lo creas o no. O simplemente puedes hacer una sustitución hiperbólica).