Rectángulo al azar arrojados en el tablero de ajedrez

Question

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Soy un ingeniero eléctrico y tener un problema difícil con... de las matemáticas: la geometría y probabilidad...

Aquí está el problema :

• Tenemos un tablero de ajedrez infinito. Cada cuadrado del tablero de ajedrez es de los más conocidos de la altura/anchura (x).

• Tengo cuatro puntos, distancias entre puntos FIJOS. Se puede organizar como un rectángulo, un cuadrado, diamante, en un círculo...

Pregunta : quiero tirar el rectángulo (o cuadrado, o de diamante...) en el tablero de ajedrez y obtener un 100% de probabilidad de que dos puntos del rectángulo a la tierra en un cuadrado blanco y los otros dos puntos en un cuadrado negro.

• ¿De qué forma/dimensiones con respecto a x, ¿tengo que adoptar para que esta condición se ha cumplido ?

Gracias por tu ayuda :) !

Answer 1

Tomar cualquier conjunto de cuatro vértices, $\{A,B,C,D\}$. Solo vamos a centrar en tres de ellos, sin embargo, tan sólo tres necesitan de la tierra en el mismo color con el fin de contradecir sus deseos.

$AB$ define una línea. Dibuja una línea perpendicular a $AB$ que pasa a través de $C$. Ahora tiene una cruz que pasa a través de $A$, $B$ y $C$. Ahora la cruz se colocan en la rejilla así:

$\hskip 250 px$

$A, B, C$ todos estarán en cuadros negros. Si sólo uno o cero de los vértices está en la esquina de un cuadrado, la cruz puede ser traducido o girar dentro de un probabilísticamente no despreciable de la zona. Este es también el caso de que después de las siguientes transformaciones:

Si todos los tres vértices están en las esquinas, la cruz puede ser girado ligeramente alrededor de su centro, de manera que ahora todas son en blanco. Si sólo $A,B$ están en las esquinas, la cruz puede ser traducido a lo largo de $AB$ conseguir fuera de las esquinas. Si sólo $C$ y uno de $A,B$ están en las esquinas, a continuación, la cruz puede ser traducido ligeramente en sentido horizontal o verticalmente y se gira ligeramente alrededor de su centro.

Por lo tanto, para cada cuadrilátero no es distinto de cero probabilidad de que tres de sus vértices de la tierra en el mismo color.