Probar que si $a\equiv b \pmod {p^{2}-p}$, $a^{a}\equiv b^{b} \pmod{p}$ donde $p$ es cualquier primer y $a$ $b$ son cero enteros.

Question

Me han demostrado el caso en que $p=2$, así que ahora me estoy planteando $p\geq 3$. Veo que $p^{2}-p = p(p-1)$, en cuyo caso podemos aplicar el Teorema del Resto Chino para obtener el $a\equiv [b,b] \mod{[p,\phi(p)]}$, ya que el $p$ $(p-1)$ son coprime y $\phi(p)=(p-1)$ donde $\phi$ es de Euler totient función. También, veo que $a\equiv b \pmod{\phi(p)}$ implica que el $x^a\equiv x^b \pmod{p}$ algunos $x\in \Phi(p)$ por el de Fermat-teorema de Euler. Sin embargo, no estoy seguro de si este es el mejor enfoque o cómo seguir desde aquí. Cualquier ayuda es muy apreciada, gracias!

Edit: Ahora veo que $x^a\equiv x^b \pmod{p}$ es cierto para todos los $x\in \mathbb{Z}$. Debido a $p$ es primo, $x$ será coprime, o un múltiplo de la de $p$. En cada caso, la declaración es verdadera. Esta es la razón por la que podemos dejar a $x = b$. Entonces podemos usar $a^a\equiv b^a \pmod{p}$$b^a\equiv b^b \pmod{p}$, y hemos terminado.

Answer 1

Sugerencia:

Por el teorema del resto Chino, la hipótesis es equivalente a $a\equiv b\mod p$$a\equiv b\mod p-1$.

Ahora lil' Fermat establece que $\;a^a\equiv \bigl((a\bmod p)^{a\bmod p-1}\bigr)\bmod p$, y del mismo modo para $b$.

Answer 2

Fix $p\ge 3$ y tenga en cuenta que $p(p-1)\mid a-b$ fib $p\mid a-b$$p-1 \mid a-b$. Por lo $a$ $b$ tienen el mismo resto modulo $p$ y el modulo $p-1$. Por otra parte, las secuencias de $(a^n)_{n\ge 1}$ $(b^n)_{n\ge 1}$ son periódicas modulo $p-1$, lo que implica que $$ a^x \equiv b^y \bmod{p} $$ siempre que $x \equiv y \bmod{p-1}$. Pero $x=a$ $y=b$ verificar esta condición por hipótesis.