Supongamos que $X$ $Y$ son dos variables aleatorias independientes con conocidos (diferente o la misma) funciones de distribución de probabilidad. Ahora, considere el vector $(X,Y)$, quiero encontrar el ángulo entre el$(X,Y)$$(E(X), E(Y))$. Supongo que de nuevo el ángulo debe ser una variable aleatoria, pero no sé cómo encontrar su PDF. Además, supongamos que el $E(X)$ $E(Y)$ no son cero al mismo tiempo. Se agradece cualquier ayuda, Gracias.
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Lost1
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No estoy seguro de por qué usted está interesado en el ángulo que hace con $(E(X),E(Y))$, porque usted puede averiguar el ángulo que hace con el $x$-eje y restar el ángulo de $(E(X),E(Y))$ $x$- eje de esta.
Más formalmente:
Deje $t \in [0,2\pi)$ ser el ángulo de $(E(X),E(Y))$ hace con el $x$-eje. (que es igual a $\arctan(E(Y)/E(X))+2\pi k$ algunos $k$ dependiendo de en que cuadrante te encuentras).
Deje $\Theta$ el valor del ángulo de $(X,Y)$ hace con el $x$-eje y deje $f$ $g$ ser la densidad de $X$ $Y$ respectivamente, entonces
Haciendo un polar de transformación de coordenadas:
Deje $x=r\sin \theta $$y=r\cos \theta$,$r\in[0,\infty),\theta\in[0,2\pi)$, entonces el Jacobiano de la transformación es $r$.
$$P(\theta_1<\Theta<\theta_2)=\int^{\theta_2}_{\theta_1}\int^\infty_0f(r\sin\theta)g(r\cos\theta)r\text{d}r\text{d}\theta$$
por lo que la densidad de $\Theta$ está dado por
$$h(\theta)=\int^\infty_0f(r\sin\theta)g(r\cos\theta)r\text{d}r$$.
Ahora, el ángulo que uno quiere es $u=t-\theta$, por lo que
$$\tilde{h}(u) = \int^\infty_0f(r\sin(t-u))g(r\cos(t-u))\text{d}r$$
Añadido: en el hecho de que usted podría haber hecho esto, incluso si $X$ $Y$ no son independientes, simplemente reemplace $f(x)g(y)$ $f(x,y)$ donde $f$ es la distribución conjunta.
