Estoy estudiando los espacios afines pero no entiendo para qué sirven.
¿Podría explicármelos? ¿Por qué son importantes y cuándo se utilizan? Muchas gracias.
Un espacio vectorial es una abstracción de cómo se comportan los vectores geométricos (en el plano, por ejemplo). Se pueden formar combinaciones lineales de vectores. No todos los vectores se parecen; pueden variar en dirección y en magnitud, y en particular existe el vector cero, que es especial. Y así sucesivamente...
Un espacio afín es una abstracción de cómo se comportan los puntos geométricos (en el plano, por ejemplo). Todos los puntos se parecen; no hay ningún punto que sea especial en ningún sentido. No se pueden sumar puntos. Sin embargo, se pueden restar puntos (dando como resultado un vector). Y se pueden formar combinaciones convexas de puntos. Y así sucesivamente...
En cuanto a "cuándo lo utilizaría", el espacio afín es el escenario natural del diseño asistido por ordenador, la fabricación asistida por ordenador y otras aplicaciones informáticas de la geometría. Todos los que desarrollan software en este campo saben que hay que distinguir cuidadosamente los puntos y los vectores (aunque ambos puedan representarse como triples de números), y evitar operaciones "ilegales" como la suma de dos puntos. Los miembros de la comunidad con mayor inclinación matemática saben que trabajan en un espacio afín.
Así que, como la mayoría de las abstracciones, los espacios afines pueden ser útiles o no, dependiendo de cómo funcione tu cerebro. Pero el espacio afín particular $R^3$ es muy importante. Como ha señalado Celtschk, es el espacio en el que vivimos. Y, en particular, es el espacio en el que computamos.
El espacio euclidiano $E$ de la geometría del instituto (2d o 3d) es un espacio afín, pero con una estructura extra: Se pueden medir longitudes y ángulos; entre los ángulos se distinguen los rectos, y entre las elipses se distinguen los círculos.
La estructura afín de $E$ es lo que queda cuando se tira el compás, la escuadra y el transportador. Se sigue reconociendo la paralelidad. Las herramientas que quedan son la regla y un dispositivo para determinar la relación de longitudes en líneas paralelas.
Un teorema de la geometría afín en el plano es el siguiente: Supongamos que las líneas $a$ y $b$ se cruzan en un punto $P$ que $A_1$ , $A_2\in a$ , $\ B_1$ , $B_2\in b$ y que ${\rm vec}(PA_1)={\rm vec}(A_1A_2)$ , $\,{\rm vec}(PB_1)={\rm vec}(B_1B_2)$ . Entonces las líneas $A_1\vee B_1$ y $A_2\vee B_2$ son paralelos.
Dados tres puntos $p_1, p_2, p_3 \in A$ con $A$ siendo el espacio afín, puedo calcular el ángulo entre los vectores $p_1 - p_2$ y $p_3 - p_2$ como en un espacio vectorial, ¿no? ¿Cómo influye la falta de un origen en el espacio afín en la capacidad de determinar ángulos (aparte del ángulo relativo a un origen, por supuesto)?
... suponiendo que exista un producto interior sobre el espacio vectorial asociado, que supongo que era el punto esencial. Pero dentro del subconjunto de espacios afines cuyo espacio vectorial asociado es un espacio de producto interior, los ángulos deberían seguir siendo una noción bien definida (a la inversa: la noción de ángulos puede perderse simplemente pasando de un espacio de producto interior como $E$ a, por ejemplo, un espacio vectorial topológico, que no es afín)?
Los espacios afines son importantes porque el espacio de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales es un espacio afín, aunque es un espacio vectorial si y sólo si el sistema es homogéneo.
Dejemos que $T:V \to W$ sea una transformación lineal entre espacios vectoriales $V$ y $W$ . La preimagen de cualquier vector $w \in W$ es un subespacio afín de $V$ . Si $w$ es distinto de cero, entonces la preimagen no contiene $0$ por lo que no es un subespacio vectorial de $V$ . Sin embargo, la preimagen de cualquier $w \in W$ es un espacio afín modelado en el espacio vectorial $\ker T$ el núcleo de $T$ .
Un caso especial de este ejemplo es que el espacio de soluciones de la ecuación matricial $Ax = y$ (para los fijos $y$ ) es un espacio afín modelado en el espacio nulo de la matriz $A$ .
El primer espacio que se nos presenta en nuestra vida son los espacios euclidianos, que son el punto de partida clásico de la geometría clásica. En estos espacios, existe un movimiento natural entre puntos que son traslaciones, es decir, se puede mover de forma natural desde un punto $p$ a un punto $q$ a través del vector que los une $\overrightarrow{pq}$ .
De este modo, los vectores representan traslaciones en el espacio euclidiano. Por tanto, los espacios vectoriales son la generalización natural de las traslaciones de los espacios, pero ¿qué espacios? Aquí es donde los espacios afines son importantes, porque recuperan el concepto de puntos a los que se desplazan las "flechas" (vectores) de un espacio vectorial.
En conclusión, un espacio afín es la modelización matemática de un espacio de puntos cuya principal característica es que existe un conjunto de movimientos preferentes (llamados traslaciones) que permiten ir de cualquier punto a otro punto de forma única y que se modelizan a través del concepto de espacio vectorial. O lo que es lo mismo, los espacios afines representan los puntos que mueven las flechas de los espacios vectoriales.
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¿Cómo que "para qué sirven"?
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@celtschk Me refiero a: ¿por qué estudio eso? ¿qué puedo hacer con los espacios afines? ¿para qué sirven los espacios afines?
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¿Cuenta el hecho de que el propio espacio en el que vivimos es, con una buena aproximación, un espacio afín?
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@celtschk Muy interesante.. ¿puedes explicar (o dar enlace de referencia) tu última frase?
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Pues bien, el artículo de Wikipedia " Espacio afín " comienza con "En matemáticas, un espacio afín es una estructura geométrica que generaliza las propiedades afines del espacio euclidiano". Dado que vivimos en un espacio aproximadamente euclidiano, también vivimos en un espacio aproximadamente afín.
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@celtschk: eso es tan del siglo XX. Ahora, la gente vive en gráficos, ¿sabes?
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@PseudoNeo: No, es del siglo XIX; en el siglo XX vivíamos en una colector curvo. ;-) (Pero entonces, escribí explícitamente "a una buena aproximación").
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Prepárate para mayores sobresaltos en la vida: si los espacios afines te intimidan o no te dan una idea de lo que modelan, hay una gran cantidad de cosas por venir: colectores con curvatura negativa, un esquema que no es cuasi-proyectivo; un grupo de Lie que no es un grupo de matrices. Espacios que no son localmente compactos; espacios lineales normados que no son separables.