$\lim_{n\rightarrow \infty} n(x^{1/n}-1)$

Question

Cómo encontrar el límite de

$$\lim_{n\rightarrow \infty} n(x^{1/n}-1)$$

A través de la regla de L'Hospital

$$\lim_{n\rightarrow \infty} n(x^{1/n}-1) = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} x^{\frac{1}{n}-1} / \frac{-1}{n^2} =\lim_{n\rightarrow \infty} x^{\frac{1}{n}-1} / \frac{-1}{n}$$

pero eso no ayuda.

Answer 1

Reescribir el límite de la $$\lim\limits_{h\rightarrow 0^+}{\frac{x^h-1}{h}}$$ ¿Por qué no ahora podrá usar la regla de L'Hôpital?

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Si usted sabe que $\lim\limits_{h\rightarrow 0}{\dfrac{e^h-1}{h}}=1$, en lugar de la regla de L'Hôpital, usted puede pensar acerca de la substiution $x^h=e^{h\ln{x}}$.

Answer 2

La aplicación de la regla de L'Hospital es incorrecta. Se han de diferenciar con respecto a $n$ en lugar de $x$, lo que ustedes han hecho en el numerador.

$$\lim_{n\rightarrow \infty} n(x^{1/n}-1)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{x^h-1}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} x^h\ln x=\ln x$$

Answer 3

El uso de la derivada de la definición de $x^t$ (si se lo permiten, es $x^t \log x$): $$ \lim_{n \to \infty} n (x^{\frac{1}{n}} -1) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}} = \lim_{h \to 0}\frac{x^h -1}{h} = \lim_{h \to 0}\lim_{t \to 0}\frac{x^{t+h} - x^t}{h} = \lim_{t \to 0}\lim_{h \to 0} \frac{x^{t+h} - x^t}{h}\\ =\lim_{t \to 0} x^t \log x = \log x $$