Solución explícita de la educación a distancia

Question

He estado tratando de encontrar una solución a la siguiente ecuación diferencial, pero fue en vano $$2q^{2}h\frac{d^{2} C}{d q^{2}}-h(1+2(v+1)q)\frac{d C}{d q}=\ln (C) - \ln{(h\exp({2h(v+1)}))}$$

Sujeto a la condición de contorno $$C(0)=\frac{\exp(2h(1+v))-1}{2(v+1)}$$

Es posible encontrar una forma cerrada de la solución de esta ecuación?

¿Alguien sabe de una referencia a un documento sobre las ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma $f''(x)+f'(x)+\ln(f(x))=0$ ?

Gracias, J

Answer 1

Esta no es una respuesta, pero espero que esto pueda ser útil.

Considero que el asintótica caso de $q \gg 1$, lo que simplifica enormemente la ecuación. De hecho, he obtenido una forma canónica de la general de la ecuación de Abel, que es un conocido no lineal de la educación a distancia.

Yo no uso el (único?) la condición de límite hasta el momento, pero puede ser un indicio de otra forma para resolver el problema.

$\mathbf{1)}$ Escribimos la ecuación en una forma simplificada mediante la introducción de una función:

$$f(C)=\frac{1}{2h} \ln \left( \frac{C}{h} \right)-(v+1)$$

Dividiendo la ecuación por $2h$ obtenemos:

$$q^2 C''-\left( \frac{1}{2}+(v+1)q \right)C'-f(C)=0 \tag{1}$$

Ahora, como he dicho, consideramos que el caso de $q \gg 1$, lo que nos permite deshacernos de $\frac{1}{2}$ dentro del soporte. La versión simplificada de la ecuación de lee:

$$q^2 C''-(v+1)q ~C'-f(C)=0 \tag{2}$$

$\mathbf{2)}$ Ahora vamos a considerar la función inversa $q(C)$ sino que:

$$C'=\frac{1}{q'}, \qquad C''=-\frac{q''}{q'^3}$$

Después de la sustitución de la ecuación de lee:

$$q^2 q''+(v+1) q q'^2+f(C) q'^3=0$$

$\mathbf{3)}$ Ahora vamos a introducir una nueva función:

$$q(C)=e^{s(C)}, \qquad q'=s'e^{s}, \qquad q''=(s''+s'^2)e^{s}$$

Después de la sustitución y las simplificaciones, la ecuación se convierte en:

$$s''+(v+2) s'^2+f(C) s'^3=0$$

La introducción de una función:

$$s'=p$$

Podemos escribir:

$$p'+(v+2) p^2+f(C) p^3=0 \tag{3}$$

$\mathbf{4)}$ La introducción de una función:

$$p=\frac{1}{w}, \qquad p'=-\frac{w'}{w^2}$$

Obtenemos la ecuación:

$$w w'-(v+2) w-f(C)=0 $$

Y después de cambiar la variable:

$$x=(v+2) C, \qquad g(x)=\frac{f(C)}{v+2}$$

Finalmente tenemos la forma canónica de la ecuación de Abel vinculados en la parte superior del post:

$$w \frac{dw}{dx}-w-g(x)=0 \tag{4}$$

Donde:

$$g(x)=\frac{1}{2h(v+2)} \ln \left( \frac{x}{h(v+2)} \right)-\frac{v+1}{v+2}$$

O podemos reescribir como:

$$g(x)= a \ln x-b$$

Por desgracia, no he encontrado la solución a esta ecuación, ni en el archivo vinculado, ni en Mathematica.

La ecuación (3) es también llamada ecuación de Abel, y en los que se forman en la página de la Wikipedia. La página de enlaces de un documento reclamando para resolver el general Abel ecuación, de modo que usted puede buscar que.

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Otra idea (todavía no se lo que conduce a la):

• Diferenciar el original de la ecuación w.r.t. $q$:

$$4h q C''+2h q^2 C'''-2h(v+1) C'-h(1+2(v+1) q) C''-\frac{C'}{C}=0$$

Simplificando, se obtiene:

$$q^2 C'''+\left((1-v)q-\frac{1}{2} \right) C''-(1+v) C'-\frac{C'}{2hC}=0$$

Si tengo más ideas, voy a actualizar este post.