Si $u$ $v$ han débil derivados,lo que acerca de $uv$?

Question

$\Omega$ es un dominio en $R^n$, Vamos a $u\in L^1_{\text{loc}}(\Omega)$. Si no existe $g_i \in L^1_{\text{loc}}(\Omega)$ tal que $$\int_\Omega g_i \phi \, dx=-\int_\Omega u \frac{\partial \phi_i}{\partial x},\phi \in C_0^\infty(\Omega)$$ Luego nos dice $u$ ha débil derivadas parciales $g_i$.

Si $u$ $v$ han débil derivadas parciales, no $uv$ han débil derivadas parciales? O ¿qué condiciones debemos agregar a$u$$v$?

Answer 1

Si $\def\loc{\text{loc}}u,v\in L^\infty_{\loc}(\Omega)$,$uv\in L^1_{\loc}(\Omega)$$u\frac{\partial v}{\partial x_i}+v\frac{\partial u}{\partial x_i}\in L^1_{\loc}(\Omega)$. Queda por demostrar que si $U\subset \Omega$ es un conjunto abierto con $\overline{U}\subset\Omega$ compacto, a continuación, $$\int_U (uv)\frac{\partial\varphi}{\partial x_i}=-\int_U \left(u\frac{\partial v}{\partial x_i}+v\frac{\partial u}{\partial x_i}\right)\varphi,\ \forall\ \varphi\in C_0^\infty(U)$$

Para ello me remito a su Brezis página 269, la Proposición 9.4.

Answer 2

Usted también puede pedir que $uv$, $u'v$ y $uv'$$L^1_{loc}$ : a continuación, el producto habitual de la regla se mantiene. (El uso de la secuencia de la caracterización de la debilidad de los derivados con $\mathcal C^\infty$ funciones y pasar a la $L^1_{loc}$ límite en el producto habitual de la regla).