Cualquier extensión finita de un cuerpo finito es una extensión cíclica.

Question

Desde finito campos no son algebraicamente cerrado, esto me sugiere que puede haber matrices sobre campos finitos, cuya característica polinomios no dividir más que campo finito, y por lo tanto no tienen Jordania formas normales.

Como un simple ejemplo, es el caso que existe un $3 \times 3$ matriz con entradas de $\mathbb{F}_3$ que no tiene una forma normal de Jordan? Me pregunto si puedo encontrar un polinomio $f \in \mathbb{F}_3[x]$ que no dividida en $\mathbb{F}_3[x]$ y, a continuación, tratar de construir una matriz cuyo polinomio característico es $f$, pero no estoy seguro de que este es un enfoque viable para la construcción de dicha matriz.

Answer 1

Considere la posibilidad de que la compañera de la matriz $A=\begin{pmatrix}0&0&-1\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\in M_3(F_3)$; su polinomio característico $p(\lambda)=\lambda^3-\lambda+1$ es irreducible sobre $F_3$. La idea es extender $F_3$ a $F_{27}$, el campo con $27$ elementos que contiene las tres raíces de $p$; Ponemos a $F_{27}=\mathbb{Z}_3[x]/(p(x))$ (el cociente con el ideal generado por a $p$), que es $F_{27}=\{a+bx+cx^2 ;a,b,c\in\mathbb{Z}_3\}$ con la condición de $x^3=x-1$. Es fácil ver que se pudre de $p$$x,x+1,x+2$. A continuación, $A$ es similar en la $F_{27}$$diag(x,x+1,x+2)$.