He empezado a leer una traducción al inglés de Serre de la FAC. Inmediatamente una gavilla está definido. La más categórica definición dada en la wikipedia en realidad tiene más sentido para mí, pero me gustaría entender este como está escrito ya que voy a estar trabajando a través de este papel.
Doy la definición, a continuación, plantear algunas preguntas.
Definición:
Deje $X$ ser un espacio topológico. Una gavilla de abelian grupos en $X$ (o simplemente una gavilla ) se compone de:
(a) Una función de $x \to \mathscr{F}_x$, dando por todos los $x \in X$ un abelian grupo $\mathscr{F}_x$,
(b) Una topología en el set $\mathscr{F}$, la suma de los conjuntos de $\mathscr{F}_x$.
Si $f$ es un elemento de $\mathscr{F}_x$, ponemos a $\pi(f) = x$; llamamos la asignación de $\pi$ la proyección de $\mathscr{F}$ a $X$; el la familia en $\mathscr{F} \times \mathscr{F}$ consiste de pares de $(f,g)$ tal que $\pi(f) = \pi(g)$ se denota por $\mathscr{F}+\mathscr{F}$.
Habiendo establecido las definiciones anteriores, se impondrán dos axiomas en los datos (a) y (b):
(I) Para todos los $f \in \mathscr{F}$ existen abrir los vecindarios $V$ de $f$ $U$ $\pi(f)$ de manera tal que la restricción de $\pi$ $V$es un homeomorphism de $V$$U$.(En otras palabras, es un local de homeomorphism).
(II) La asignación de $f \mapsto -f$ es una asignación continua de $\mathscr{F}$ $\mathscr{F}$, y la asignación de $(f, g) \mapsto f + g$ es una asignación continua de $\mathscr{F}+\mathscr{F}$ a $\mathscr{F}$.
Preguntas:
1) En el comienzo de esta definición, ¿de qué estamos tomando $\mathscr{F}$ ? Parece que nos estamos refiriendo a él de forma indirecta como la categoría de abelian grupos. En esta definición es $\mathscr{F}$ algunos de clase no especificada de abelian grupos? Se refieren a $\mathscr{F}$ como un conjunto en (b), pero no creo que la categoría de abelian grupos es pequeño. ¿Qué debo tomar $\mathscr{F}$?
2) Después de esta definición, que cosa(s) exactamente es (son) la gavilla? Es el par $(f,\tau)$ donde $f$ es la función de (a) y $\tau$ la topología de (b)? La función de (a) parece ser jugando el papel de la functor de la definición en la wikipedia, salvo que el functor pares de abrir conjuntos de $X$ a los objetos, no los puntos de la espacio de $X$.
3) En la parte (b), a priori de que el resto de la definición, es sólo indica que cualquier topología puede ser en $\mathscr{F}$? ¿Por qué dicen 'la suma de los conjuntos de $\mathscr{F}_x$'.
4) en I y En II, ¿cómo voy a hacer sentido de $-f$ $f+g$ si $f,g$ abelian grupos? qué tiene que ver esto con la topología de la volvemos a poner en el colección de conjuntos?
5) Es esta definición en realidad equivalente a la de la wikipedia? De supuesto esto es sólo para abelian grupos, y el de la wikipedia permite a la categoría de destino para ser Conjuntos, Anillos, etc.. Pero en el caso de la categoría de destino se abelian grupos, son equivalentes?
EDITAR:
Tal vez la pregunta 3 de la realidad de las respuestas de la pregunta 1. Son la definición de la 'set' $\mathscr{F}$ a ser la suma de todas las imágenes de la función? En lo teórico manera estamos sumando a ellos? La inconexión de la unión parece plausible?
También, -f y f+g hace sentido, me di cuenta de que $f,g$ son los elementos del grupo $\mathscr{F}_x$.
A la luz de estos cambios, puedo tomar $$\mathscr{F} = \bigcup_{x \in X} (\{x\} \times \mathscr{F}_x) \hspace{2mm} ?$$ then the mapping $\pi$ mentioned in the definition would really be mapping from $(x,f) \mapsto x$? Although maybe trivial at this level, this seems important since in the case of the constant sheaf the same group element would be going to each $x \in X$ pero en este discontinuo de la unión que todavía sería bien definidos.
La definición del mapa de $\pi$ le parece muy "no universales", ya que depende de los elementos de los grupos?
La definición de $\mathscr{F} + \mathscr{F}$ me parece muy extraño, es solamente la formación de todas las tuplas de elementos que proceden del mismo grupo?
