Cómo aumentar las matemáticas habilidades analíticas

Question

Soy un ingeniero graduado. Aprendí matemáticas y la puede hacer pero en una ingeniería manera (es decir, la aplicación dada fórmulas y montón de pasos para alcanzar un objetivo conocido), pero el problema es que ahora me di cuenta de que las matemáticas no se trata sólo de aplicar, se trata de pensar y analizar, como lo que los físicos teóricos y matemáticos están haciendo y me gustaría empezar a pensar como ellos, así que ¿cómo puedo cambiar mi forma de pensar y empezar a analizar matemáticas en lugar de simplemente aplicar?

¿Qué tipo de libros o conferencias recomendaría a seguir?

Answer 1

La lectura del Libro 1 de los Elementos de Euclid es un gran lugar para empezar en el camino hacia el aprendizaje de la matemática pura. Aquí están algunas de las razones puede ser atractivo para usted:

• Es auto-contenida. El texto no asume ninguna matemáticos previos de conocimiento. Cada proposición demostrado en el texto se remonta a los comienzos del conjunto de principios.
• El libro 1 es lo suficientemente corto como para ser abordado en alrededor de dos semanas de estudio casual cada noche. Es paquetes de un montón de material rico en ese corto espacio, y que culmina en una hermosa prueba del Teorema de Pitágoras.
• Ofrece muchas posibilidades para el análisis de la práctica en cualquier nivel de habilidad. Para el análisis de la práctica, dibuje el diagrama paso a paso como se indica en la "construcción" de parte de la proposición, a continuación, hacer una pausa en su lectura y considerar qué piezas de información que están disponibles para llegar a la conclusión. Si tiene una sugerencia, leer las primeras declaraciones de la prueba y usted puede conseguir una sensación para la dirección a tomar.
• Euclides proporciona excelentes ejemplos de síntesis, la contraparte de la habilidad de análisis. Si el análisis es sobre la disección y extracción de información, con miras a lo que es relevante, entonces, es la síntesis sobre la recomposición de la misma información en una forma que es lógicamente correcto, claro, y estéticamente agradable. También se puede practicar este en su estudio de los Elementos si hace una pausa en la lectura, intentando llegar a su propia prueba, luego de aclarar sus pensamientos por escrito a cada premisa del argumento, con sus datos de apoyo. Comparar su argumento y su estilo con el de Euclides. Los estudiantes que ello generar un mayor aprecio por la variedad de formas para crear pruebas y una mayor apreciación estética de la elegancia en las pruebas.
• Usted entrará en la tradición. Los Elementos es, esencialmente, el prototipo de todos los matemáticos de los textos que se han seguido en el curso de muchos siglos, desde su escritura. Es el primer ejemplo tenemos que emplea una estructura deductiva basada en axiomas y definiciones. Los Elementos es el sendero que casi todos los matemáticos y científicos de los pensadores occidentales han tomado como parte de su iniciación en sus materias. Usted estará en compañía de Newton, Leibniz, Euler, Pascal, Gauss, Einstein, para nombrar sólo unos pocos. Usted dice que su objetivo es empezar a pensar como los físicos teóricos y matemáticos. Si es así, le pueden ayudar a compartir esta base de la experiencia con ellos.

Para obtener el beneficio completo de las lecturas, usted debe tener un compás y una regla y seguir los pasos de la construcción en un pedazo de papel. Marca el diagrama con un lápiz para mostrar la igualdad de líneas y ángulos, y como encontrarlos. Dibujar subdiagramas cuando sea necesario desglosar la información más como en I. 5, donde hay varios superposición de triángulos congruentes.

Cuando esté más familiarizado con el estilo de las proposiciones no es más que usted puede hacer. Escribir sus propias pruebas. Experimentar con diferentes formas en que el "dado" objetos pueden ser organizados y determinar si lo que requeriría una calidad diferentes.

Más que poner el lápiz al papel, a la vez que estudio, más que aprender del proceso.

Answer 2

Permítanme ofrecer una alternativa de tomar. Me gustaría poder proporcionar TL;DR, pero yo era incapaz de resumir lo suficientemente bien, lo siento.

Contexto:

Las personas a menudo dicen que los teoremas y las pruebas son los conceptos fundamentales de la matemática. Estoy de acuerdo en que estas son tema frecuente cuando se habla y publicación de las matemáticas, pero no son lo que los matemáticos pasar la mayor parte del tiempo (y no estoy hablando de dormir, la fijación de $\LaTeX$ errores de la resolución de Python dependencias, etc.). Permítanme destacar:

Las pruebas son solo herramientas que usan los matemáticos para validar las hipótesis. Una vez que una hipótesis es probado, es un teorema y deja de ser interesante ya.

Podríamos decir que el teorema podría ser interesante, porque nos podría ampliar, pero en realidad es esta extensión (que aún no está comprobada, por lo que es una hipótesis, no un teorema) que es muy interesante.

Podríamos decir que una determinada prueba es muy interesante, porque revela algo más profundo acerca de la estructura de los objetos que estudiamos. Sin embargo, generalmente no es la prueba en sí que es interesante, pero, digamos, de alguna construcción en ella de esa forma la estructura. Sin embargo, el conjunto de razonamientos de hecho podría ser formulado como un lema alegando la existencia de dicha estructura, y el teorema de como lema inmediata del corolario.

Podríamos decir que esta estructura o de los relacionados con el lexema es interesante, pero sólo es interesante debido a todas las hipótesis que se derivan de ella. En una vena similar, las pruebas son sólo interesante, debido a todas las otras hipótesis que podrían ser alcanzados mediante la aplicación de la misma prueba técnica a otros objetos.

Y así, en mi opinión, la búsqueda de una buena hipótesis es la base de matemático del trabajo. Incluso cuando se trabaja en una prueba, estamos todavía en repetidas ocasiones (normalmente incluso inconscientemente) la formación y el rechazo de las hipótesis. Cuando mi intuición me dice "este enfoque debe trabajar aquí", mi mente se forma una hipótesis ", dados los supuestos de la actualidad, existe una función que se asigna a..." y así sucesivamente.

Lo que es diferente acerca de las matemáticas:

Los párrafos anteriores puede parecer una perogrullada, porque esta es la base del método científico y ni siquiera específicos de matemáticas. Sin embargo, creo que es importante darse cuenta de que las matemáticas pueden tomar diferentes formas, desde los estereotipos de lo que dicen. Lo que separa a las matemáticas de todo lo demás, es la forma en que los matemáticos validar o rechazar las hipótesis, es decir, lo que constituye una prueba. En matemáticas, estamos validar o rechazar las hipótesis basadas en los supuestos que tenemos y las reglas de inferencia estamos de acuerdo (a menudo de forma implícita), mientras que en ciencias de hacerlo (por lo general), basado en los resultados de los experimentos. Que es, supongo, ¿por qué muchas personas afirman que la prueba (es decir, la ruta de acceso usando las reglas de inferencia, a partir de los supuestos de la reclamación en cuestión) es el concepto básico de las matemáticas. Estoy de acuerdo en que la naturaleza de la prueba matemática es lo que pone en matemáticas, aparte de que el resto del TALLO. Sin embargo, las hipótesis son lo que los matemáticos están preocupados.

En otras palabras, si usted desea aumentar sus habilidades de la matemáticas, aumentar su capacidad para imaginar/buscar/reconocer el buen hipótesis.

¿Qué es una buena hipótesis:

Esta es una pregunta muy difícil, que es similar a "¿qué es el buen arte" o "¿qué es un buen diseño". Sin duda una buena hipótesis es que es verificable, pero normalmente es imposible saber de un vistazo si la hipótesis es un teorema (de lo contrario no sería interesante). Por lo tanto, lo mejor que uno puede hacer es buscar cosas que parecen plausibles, por ejemplo, tenemos una intuición que explica por qué no puede ser verdad. Sin embargo, una gran parte de la formación de una buena hipótesis acerca de cómo se representa el objeto en cuestión y de cómo se interactúa con otros teoremas e hipótesis (no todos los que tengan en su mente, algunos incluso no se concibe todavía). Hay un poco de arte, y es algo que generalmente se recogió con la experiencia, pero se puede acelerar el proceso levemente observar cómo los demás hacerlo (por ejemplo, mediante la lectura de los libros de texto o bien documentos escritos).

Cómo aumentar las habilidades matemáticas?

Son evidentes las avenidas como la lectura relacionada con las matemáticas cosas, va a clases de matemáticas y de hacer ejercicios. Algunos conocimientos básicos que se adquieren de esta manera son necesarias para ser un buen matemático (por ejemplo, es difícil tener éxito en la verificación de un complejo hipótesis de si uno tiene problemas relacionados con el estándar de objetos matemáticos).

Sin embargo, la cosa más importante que puedes intentar hacer es encontrar hipótesis sobre una base diaria en su trabajo, sea lo que sea. Tratar de entender cuáles son los supuestos de la hipótesis, ¿cuáles son las conclusiones, cómo interactúa con los objetos a su alrededor, ¿qué sucede si cambia un poco, ¿qué sucede si usted añadir/quitar/modificar algunos de los supuestos, no hay nada especial acerca de los supuestos que tienen que parece que esta hipótesis sea verdadera?

Trate de comenzar con cosas concretas, y mover a la más abstracta de las cosas más tarde. El más abstracto, más matemáticas-y la cosa se parecen, pero la torre de la abstracción en matemáticas es muy alta, y en los niveles superiores que están tan alejadas de la realidad, que algunas personas cuestionan la utilidad de la investigación (si bien el término abstracto tonterías no fue pensado como algo despectivo, existe por una razón).

Hay algunos famosos ejemplos de la vida real de tales curiosidad ociosa: Siete Puentes de Königsberg, y aunque no espero encontrar una nueva teoría de mi en-el-bus reflexiones, puede ser un divertido ejercicio para intentar la búsqueda de problemas matemáticos y sus soluciones en su vida cotidiana. Aquí es una situación en la que había recientemente:

Accidentalmente, he escuchado a alguien decir que tiene un uno libre de paso de entrada de un amigo, pero no estaba seguro de cómo podía maximizar su potencial. En ese momento observé que, en efecto, mientras que algunos servicios web permiten buscar más barata de las conexiones, que realmente no puede pedir la ruta más barata asumiendo que puede anular el costo de un tramo del viaje (por ejemplo, la opción más barata en ese entorno puede ser el que anteriormente era muy caro debido a una determinada pierna costando mucho).

Decidí que no puede ser un problema difícil, porque dado un transporte-red-gráfico de $G = (V, E)$, sólo hay $|E|$ posibilidades para que el borde se desee anular, y la ejecución estándar de los caminos más cortos algoritmo de $|E|$ veces constituiría un crudo de fuerza bruta solución. Entonces, me di cuenta de que sólo podría ejecutar el Dijstra del algoritmo dos veces, una desde la fuente de vértices y una vez hacia atrás de la meta, y luego ir a través de todos los bordes para elegir la conexión más barata.

Por último, me las arreglé para generalizar que la solución para el caso de tener $k$ entradas gratis, momento en el que tenía que desembarcar en el autobús y ocupar mi mente con otros asuntos ;-)

Espero que esto ayude a $\ddot\smile$

Answer 3

La "ingeniería" (de hacer matemáticas) es diferente de la "matemático manera", porque sus efectos no son los mismos.

Así, con el fin de empezar a pensar como un methematician, el primer paso es descubrir cuál es el propósito de un matemático. Para esto, le sugiero que lea la Sección de la Prueba, la del matemático cuaderno de viaje en el Capítulo 2 de Sautoy del libro. Esta sección (así como de todo el libro) no te va a enseñar alguna de las matemáticas. Pero va a explicar lo que es la cosa más importante para un matemático: la prueba.

Después de leer eso, usted tendrá una buena idea del matemático punto de vista sobre el concepto de prueba y su importancia. Por lo tanto, el siguiente paso es empezar a aprender de las pruebas y haciendo pruebas. Para esto, usted tiene que estudiar matemáticas en los libros que están destinados a enseñar matemáticas a los matemáticos (básicamente, el objetivo de este tipo de libro es presentar las definiciones y demostrar teoremas; y los ejercicios le pedirá que demostrar cosas que no fueron probadas en el texto).

¿Qué libro elegir depende de qué tema desea aprender y lo que es su fondo. Usted podría tratar de Análisis que por Terence Tao. En el Capítulo 2, por ejemplo, está demostrado que el $4$ es diferente de $0$. Sí, esto es una cosa obvia para un ingeniero. Pero un matemático no lo acepta hasta probarlo.