Dadas ciertas condiciones espectáculo $f'''(x)\ge3$

Question

Supongamos $f$ es una verdadera valores de función continua definida en $[-2,2]$, y la de veces derivable en a $(-2,2)$. Si $f(2)=-f(-2)=4$$f'(0)=0$, a continuación, mostrar que existe $x\in(-2,2)$ tal que $f'''(x)\ge3$.

He intentado usar el MVT fue en vano. Trató de volver a calcular asumiendo $f'''(x)\ge3$ y luego integrar. No podía hacerlo.

Answer 1

Uso del Teorema de Taylor,

$$ f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^2+\frac{1}{6}f'''(\theta)x^3,\quad x\in[-2, 2], \theta\in(-2, 2). $$

Luego de ello se sigue que

$$ f(2)=-f(-2)=4 $$

lo que implica $$ f(0)+\frac{1}{2}f''(0)\cdot4+\frac{1}{6}f'''(\theta_1)\cdot 8=4 $$ $$ f(0)+\frac{1}{2}f''(0)\cdot4+\frac{1}{6}f'''(\theta_2)\cdot (-8)=-4 $$

Supongamos $ f'''(x)<3,\forall x\in(-2, 2) $, luego de la primera ecuación obtenemos $$ f(0)+\frac{1}{2}f''(0)\cdot4>4-\frac{4}{3}\cdot 3=0, $$

pero $$ f(0)+\frac{1}{2}f''(0)\cdot4<-4+\frac{4}{3}\cdot 3=0 .$$ de la segunda ecuación. Contradicton!

Answer 2

Supongamos, por contradicción, que $$ f"'(x)<3 $$ tiene para todos los $x\in\left(-2,2\right)$.

Por Taylor teorema con una media de valor de las formas del resto, $$ f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f"(0)x^2+\frac{1}{6}f"'(\xi)x^3, $$ donde $\xi\in\left(0,x\right)$ si $x>0$, e $\xi\in\left(x,0\right)$ si $x<0$.

Siempre que $f'(0)=0$, por encima de la igualdad se reduce a $$ f(x)=f(0)+\frac{1}{2}f"(0)x^2+\frac{1}{6}f"'(\xi)x^3. $$ Siempre que $f(2)=4$, por encima de la igualdad de los rendimientos $$ 4=f(2)=f(0)+\frac{1}{2}f"(0)2^2+\frac{1}{6}f"'(\xi_1)2^3=f(0)+2f"(0)+\frac{4}{3}f"'(\xi_1), $$ con $\xi_1\in\left(0,2\right)$. Tenga en cuenta que $f'''(\xi_1)<3$ según nuestra hipótesis, esta última igualdad implica $$ 4-f(0)-2f"(0)=\frac{4}{3}f"'(\xi)<\frac{4}{3}\cdot 3=4\ffi f(0)+2f"(0)>0. $$

Del mismo modo, gracias a la $f(-2)=-4$, tenemos $$ -4=f(-2)=f(0)+\frac{1}{2}f"(0)(-2)^2+\frac{1}{6}f"'(\xi_2)(-2)^3=f(0)+2f"(0)-\frac{4}{3}f"'(\xi_2), $$ con $\xi_2\in\left(-2,0\right)$. Todavía uso $f'''(\xi_2)<3$, y obtenemos $$ 4+f(0)+2f"(0)=\frac{4}{3}f"'(\xi_2)<\frac{4}{3}\cdot 3=4\ffi f(0)+2f"(0)<0. $$

Comparar las dos estimaciones que hemos de $f(0)+2f''(0)$, y es obvio que una contradicción surge. Esto significa que nuestra suposición es incorrecta, y no deben existe algún $x_0\in\left(-2,2\right)$, de tal manera que $$ f"'(x_0)\ge 3. $$