Cálculo del grupo de clase ideal: Cómo concluir que las clases de dos ideales son distintas

Question

A menudo intento calcular los grupos de clase, con un enfoque bastante estándar:

1. Calcula el límite de Minkowski y enumera los primos menores que este límite.

2. Factor $(p)$ en ideales primos (normalmente utilizando el criterio de Dedekind) para cada primo $p$ menos que el límite de Minkowski.

3. Concluir que el grupo de clases está generado por los factores de estos $(p)$ y, por tanto, determinar el grupo.

No entiendo cómo demostrar que las clases ideales son distintas en general. Por ejemplo, dejemos que $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$ con el anillo de enteros algebraicos $O_K = \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{23}}{2}]$ . El discriminante es -23 y el límite de Minkowski es menor que 4. Por tanto, bastará con factorizar 2,3 en ideales, ya que el grupo de clase estará generado por dichos ideales. Escribiendo $\omega = \frac{1+\sqrt{23}}{2}$ Puedo demostrar que $(2)=(2,\omega)(2,\bar\omega)$ , $(3)=(3,2\omega)$ , $(\omega)=(2,\omega)(3,\omega)$ .

Por la factorización de $(\omega)$ , $[(3,\omega)]^{-1}=[(2,\omega)]$ en el grupo de clase. Por la factorización de $(2)$ , $[(2,\omega)]=[(2,\bar\omega)]^{-1}$ . Tenga en cuenta que $(3,2\omega) \subset (3,\omega)$ por lo que por primalidad son iguales, y $(3,\omega-1)=(3,2\omega-2)$ de la misma manera. Por la factorización de $(3)$ , $[(3,\omega)]=[(3,\omega-1)]^{-1}$ .

Entonces, comparando estas ecuaciones puedo concluir que $[(2,\bar\omega)]=[(3,\omega)], [(2,\omega)]=[(3,\omega-1)]$ .

Entonces, si puedo demostrar que $[(3,\omega)]\not = [(2,\omega)]$ Puedo concluir que el grupo de clase su $C_3$ pero no sé cómo conseguir este último paso. Esto es puramente un ejemplo del problema que estoy teniendo; me gustaría saber en general cómo tratar este tipo de cuestiones.

Answer 1

Creo que los paquetes de álgebra computacional utilizan el fórmula del número de clase . No sé si esto es sólo una cuestión de eficiencia o porque es necesario para hacer sistemáticamente el cálculo en general.

Como se trata de campos cuadráticos imaginarios, esto tiene la forma más simple

$$ h = \frac{w \sqrt{|d|}}{2\pi} L(1, \chi) $$

Es de suponer que ya conoces el número de raíces de la unidad $w$ y el discriminante $d$ por lo que sólo queda obtener el valor de la Dirichlet $L$ -serie $L(1, \chi)$ .

Desde $h$ tiene que dividir el orden del grupo que ha calculado, ni siquiera necesita una buena estimación de $L(1, \chi)$ para demostrar que has calculado el grupo de clase - incluso sabiendo $L(1, \chi)$ con un factor de $\sqrt{2}$ es suficiente para determinar cuál es el valor correcto de $h$ es.

Y si $h$ es el orden del grupo que has calculado, entonces tienes el grupo de clase correcto.

Pero en el caso de un campo cuadrático, la página de la wiki que enlazo da una suma finita que debería permitirte calcular exactamente $L(1, \chi)$ .

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Tenga en cuenta que para los campos que no son $\mathbb{Q}$ o cuadráticas imaginarias, el regulador aparece también en esta fórmula. Afortunadamente, el enfoque que describes para encontrar el grupo de clases es también un enfoque para encontrar el grupo de unidades, por lo que puede hacer ambas cosas al mismo tiempo.

Answer 2

Responderé aquí a su pregunta por separado:

Creo que es computacionalmente eficiente encontrar todos los elementos de una norma dada, hasta la multiplicación por unidades.

Una posible aceleración en tus cálculos: puedes utilizar el lema de Kronecker que dice que si $F= \sum a_k x^k$ y $G= \sum b_l x^l$ son dos polinomios entonces el producto ideal $(a_k) \cdot (b_l)$ es generado por los coeficientes de $F\cdot G$ . Eso acelera la subida al poder $m$ un ideal dado como generado por $2$ elementos. Usted produce el $m$ -a la potencia generada por $m+1$ en lugar de $2^m$ .

En cuanto al número de clase de los campos cuadráticos, existen diferentes algoritmos. Algunos determinan sólo el número, no la estructura del grupo. Por ejemplo, la fórmula del número de clase analítico. Debería ser divertido comparar los resultados obtenidos de diferentes maneras.

Answer 3

Un enfoque más computacional, en la línea de su formulación original:

Siempre es útil escribir la forma de la norma, es decir $\mathbf N^K_{\Bbb Q}(m+n\omega)=m^2+mn+6n^2$ , donde $\omega=\frac{1+\lambda}2$ , $\lambda^2=-23$ .

Desde $2$ y $3$ ambos divididos, tenemos $(2)=\mathfrak p_2\overline{\mathfrak p_2}$ y $(3)=\mathfrak p_3\overline{\mathfrak p_3}$ y estoy poniendo $\mathfrak p_2=(2,\omega)$ , $\overline{\mathfrak p_2}=(2,\bar\omega)$ como tú, y $\mathfrak p_3=(3,2\omega)=(3,\omega)$ , $\overline{\mathfrak p_3}=(3,2\bar\omega)=(3,\bar\omega)$ . Como usted señala, $\overline{\mathfrak p_2}\sim\mathfrak p_2^{-1}$ y $\overline{\mathfrak p_3}\sim\mathfrak p_3^{-1}$ donde estoy usando " $\sim$ " para decir "en la misma clase que".

Cuando calculamos $\mathfrak p_2\mathfrak p_3$ obtenemos \begin{align} \mathfrak p_2\mathfrak p_3&=(2,\omega)(3,\omega)\\ &=(6,3\omega,2\omega,\omega^2)\\ &=(6,\omega)=(\omega)\sim(1)\,, \end{align} desde $6=\omega\bar\omega$ . Así, $\mathfrak p_2\sim\overline{\mathfrak p_3}$ y $\overline{\mathfrak p_2}\sim\mathfrak p_3$ .

Podríamos terminar verificando directamente que $\mathfrak p_2^3\sim(1)$ Aunque creo que lo anterior ya demuestra este hecho. Ciertamente, $\mathfrak p_2^2$ no es principal: su norma es $4$ y eso requeriría un número entero de $K$ de la norma $4$ . Pero si se mira la ecuación de la forma normal $m^2+mn+6n^2=4$ se ve que la única solución en números enteros es $(2,0)$ . Por otro lado, existe una solución no trivial de $m^2+mn+6n^2=8$ , a saber $(1,1)$ de modo que esperamos encontrar algo como $\mathfrak p_2^3=(1+\omega)$ o bien $\mathfrak p_2^3=(1+\bar\omega)$ . De hecho, \begin{align} \mathfrak p_2^3=(2,\omega)^3&=(8,4\omega,2\omega^2,\omega^3)\\ &=(8,4\omega,-12+2\omega,-6-5\omega)\\ 8/(1+\bar\omega)&=1+\omega\\ 4\omega/(1+\bar\omega)&=-3+\omega\\ 2\omega^2/(1+\bar\omega)&=-3-\omega\\ \omega^3/(1+\bar\omega)&=3-2\omega\,. \end{align}

Innecesariamente largo, lo admito, pero muestra cómo encajan las cosas.