He encontrado un argumento para el título en esta pregunta, usando la aproximación de Stirling y la definición de $x=\lambda-k$, $$ \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=\frac{\lambda^{\lambda-x}e^{-\lambda}}{(\lambda-x)!} \approx \frac{e^{-\lambda}\lambda^{\lambda-x}}{(\lambda -x)^{\lambda -x} e^{-(\lambda -x)} \sqrt{2\pi (\lambda -x)} } =\\ = \frac{e^{-x}}{\sqrt{2\pi}} \frac{\lambda^{\lambda-x}}{(\lambda -x)^{\lambda -x}} (\lambda -x)^{-\frac{1}{2}}=\\ = \frac{e^{-x}}{\sqrt{2\pi}} (\lambda -x)^{-\frac{1}{2}} \left(\left(1-\frac{1}{\lambda /x}\right)^{\lambda /x}\right)^{\frac{x^2-\lambda x}{\lambda}}\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi\lambda}}e^{-\frac{(k-\lambda)^2}{\lambda}}$$ como $\lambda\rightarrow\infty$. El problema es que el pdf final a la que llegan no está normalizado en razón de la falta del factor de 2 en el denominador dentro de la exponencial. No puedo ver de donde ese factor está perdido, alguna ayuda?
Respuesta
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He identificado un par de cosas que salieron mal. Primero de todo, si usted escribe las cosas en términos de $x$, en el PDF que se va a 0 de todos modos. Esto le permite realizar manipulaciones que son técnicamente correctos, pero no útil. Tenga en cuenta que todas las expresiones son las mismas en el límite de $\lambda\to\infty$, simplemente porque todos ellos van a 0.
Para hacer las cosas riguroso es mejor escribir las cosas en términos de $y = x/\sqrt{\lambda}$, ya que el $y$ debe tener una variación de 1, podemos mantenerlo fijo y de tomar realmente el límite sin tener que preocuparse por el PDF de fuga. Tenga en cuenta que si queremos realizar la transformación de coordenadas $x \to \sqrt\lambda y$ entonces también debemos multiplicar por $\sqrt{\lambda}$ para mantener todo normalizado.
Ahora bien, si hacemos esto, usted encontrará que el $e^{-x}$ hace $e^{-\sqrt\lambda y} $ que va a 0, y esto se multiplica por un plazo va a $\infty$. Esto claramente no es bueno tomar esos límites por separado y multiplicar el resultado, que implícitamente hizo en su derivación. Si usted arreglar esto, usted también encontrará que el límite de $\lim_{x\to\infty} (1+1/x)^x = e$, o, equivalentemente,$\lim_{x\to\infty} \exp(x\log(1+1/x)) = e$, no convergen con la rapidez suficiente para nuestros propósitos, lo que resultará en un plazo adicional de que las correcciones de la normalización.
Ahora para mejorar la legibilidad también voy a escribir $\sigma=\sqrt\lambda$. Esto se traduce en:
$$ \begin{align} \lim_{\lambda\to\infty}& \frac{e^{-\sqrt\lambda y}}{\sqrt{2\pi}} \frac{\sqrt\lambda}{\sqrt{\lambda - \sqrt{\lambda}y}}\left(\frac{\lambda}{\lambda - \sqrt\lambda y} \right)^{\lambda - \sqrt\lambda y}\\ &= \lim_{\sigma\to\infty} \frac{e^{-\sigma y}}{\sqrt{2\pi}} \sqrt\frac{\sigma^2}{\sigma^2 - \sigma y} \left(\frac{\sigma}{\sigma - y} \right)^{\sigma^2 - \sigma y} \\ &= \lim_{\sigma\to\infty} \frac{e^{-\sigma y}}{\sqrt{2\pi}} \left(\frac{\sigma}{\sigma - y} \right)^{\sigma^2 - \sigma y} \\ &= \lim_{\sigma\to\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\bigl(-\sigma y + (\sigma^2 - \sigma y) (\log(\sigma) - \log(\sigma - y))\bigr)\\ &= \lim_{\sigma\to\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\sigma y + (\sigma^2 - \sigma y) \left(\log(\sigma) - \log(\sigma) + \frac{y}{\sigma} + \frac12 \frac{y^2}{\sigma^2} + o\left(\frac{y^2}{\sigma^2}\right)\right)\right)\\ &= \lim_{\sigma\to\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\sigma y + (\sigma^2 - \sigma y) \left(\frac{y}{\sigma} + \frac12 \frac{y^2}{\sigma^2} + o\left(\frac{y^2}{\sigma^2}\right)\right)\right)\\ &= \lim_{\sigma\to\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-y^2 + \frac12 (\sigma^2 - \sigma y) \frac{y^2}{\sigma^2} + (\sigma^2 - \sigma y) o\left(\frac{y^2}{\sigma^2}\right)\right) \\ &= \lim_{\sigma\to\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-y^2 + \frac12 \sigma^2 \frac{y^2}{\sigma^2}\right)\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac12 y^2\right) \end{align} $$
Tenga en cuenta que si nos gustaría que nos aproxima $\log(\sigma - y)$ a de primer orden nos gustaría que nos han llegado:
$$ \lim_{\sigma\to\infty} -\sigma y + (\sigma^2 - \sigma y) \left(\frac{y}{\sigma} + o\left(\frac{y}{\sigma}\right)\right) = \lim_{\sigma\to\infty} -y^2 + (\sigma^2 - \sigma y) s\left(\frac{y}{\sigma}\right) = \lim_{\sigma\to\infty} -y^2 + \sigma^2\left(\frac{y}{\sigma}\right) $$
Pero aquí el término " $ \sigma^2 o\left(\frac{y}{\sigma}\right)$ doensn no vaya a 0 con la suficiente rapidez, por lo que si usted suponer erróneamente se desvanece luego de obtener la respuesta equivocada, lo que resulta en la falta del factor $\frac12$.
