Evaluar $\int \sqrt{\frac{\cos x - \cos^3 x}{1-\cos^3 x}}dx$

Question

Evaluar $\int \sqrt{\frac{\cos x - \cos^3 x}{1-\cos^3 x}}dx$

Mi intento:

$I=\int \sqrt{\frac{\cos x - \cos^3 x}{1-\cos^3 x}}dx=\int \sqrt{\frac{\cos x(1-\cos^2 x)}{1-\cos^3 x}}dx=\int \sqrt{\frac{\cos x\sin^2 x}{1-\cos^3 x}}dx=\int \sin x\sqrt{\frac{\cos x}{1-\cos^3 x}}dx=\int\sqrt{\frac{\cos x}{1-\cos^3 x}}(\sin x)dx=-\int \sqrt{\frac{\cos x}{1-\cos^3 x}}(-\sin x)dx$

Deje $z=\cos x$

$\therefore dz=(-\sin x)dx$

$\therefore I=-\int\sqrt{\frac{z}{1-z^3}}dz$

No puedo entender cómo proceder en el futuro. Por favor, ayudar.

Answer 1

Sugerencia: Sustituya $u=z^{3/2}$. A continuación, usted debe ser capaz de reconocer la integral de obtener.

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¿Cómo podría haber llegado con esto a ti mismo? También tenga en cuenta que usted tiene $\sqrt z dz$ en la parte superior (que es el mismo hasta una constante como $d(z^{3/2})$), y ha $1-z^3$ en el denominador, mientras que usted está probablemente más acostumbrados a ver las cosas de la forma $1-z^2$ en el denominador. Por lo que la sustitución de $z^{3/2}$ tiene el efecto de transformar el denominador en algo que reconocer, aunque también deshacerse de la squareroot en el numerador.