Dejemos que $x_1=a>0$ y $x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n} \forall n\in \mathbb N$ . Comprueba si la siguiente secuencia converge o diverge.

Question

Dejemos que $x_1=a>0$ y $x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n} \forall n\in \mathbb N$ . Comprueba si la siguiente secuencia converge o diverge.

Cuando estaba en la UG mi profesor utilizaba la prueba de la derivada para la monotonicidad. $f(x)=x+\frac{1}{x}, f'(x)=1-\frac{1}{x^2}>0(x>1).$ Así que, $f(x)$ está aumentando. ¿Cómo demostrar que la secuencia es monótona? La diferenciación viene después de las secuencias y series. Por la desigualdad AM-GM la secuencia está acotada por debajo. $x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}\ge 2\sqrt{x_n.\frac{1}{x_n}}=2 \forall n\in \mathbb N$ . ¿Cómo puedo juzgar si la secuencia acotada arriba o no? Por favor, ayúdeme.

Answer 1

Reordenando tenemos $x_{n+1}-x_n=\frac{1}{x_n}$ . Multiplicando por $x_{n+1}+x_n$ obtenemos $$x^2_{n+1}-x^2_n=1+\frac{x_{n+1}}{x_n} \geq 1$$ Telescopiando la suma obtenemos que, $$x^2_{n+1}-x_1^2\geq n$$ Por lo tanto, $x_n$ no tiene límites.

Answer 2

La secuencia es realmente creciente. Dado que $$x_{n+1} - x_n = \frac{1}{x_n} > 0$$ Podemos demostrar que no está acotado. En caso contrario, converge, por ejemplo, a $l$ . Entonces tenemos $$ l = l + 1/l,$$ que es una contradicción.

Answer 3

Ampliando la respuesta de Clark.

$x_{n+1}^2 =x_n^2+2+\dfrac1{x_n^2} $ así que $x_{n+1}^2-x_n^2 \ge 2$ .

Resumiendo, $x_{n+1}^2-x_1^2 \ge 2n$ así que $x_{n+1}^2 \ge x_1^2 + 2n = 2n+a^2 $ así que $x_{n+1} \ge \sqrt{2n+a^2} \gt \sqrt{2n} $ .

Por lo tanto, $x_{n+1} =x_n+\frac{1}{x_n} \le x_n+\frac{1}{\sqrt{2(n-1)}} $ o $x_{n+1}- x_n \le \frac{1}{\sqrt{2(n-1+a^2)}} \lt \frac{1}{\sqrt{2(n-1)}} $ .

Resumiendo,

$\begin{array}\\ x_{m+1}- x_2 &=\sum_{n=2}^m (x_{n+1}- x_n)\\ &\lt \sum_{n=2}^m\frac{1}{\sqrt{2(n-1)}}\\ &= \dfrac1{\sqrt{2}}\sum_{n=1}^{m-1}\frac{1}{\sqrt{n}}\\ &= \dfrac1{\sqrt{2}}(1+\sum_{n=2}^{m-1}\frac{1}{\sqrt{n}})\\ &< \dfrac1{\sqrt{2}}(1+\int_1^m \dfrac{dt}{t^{1/2}})\\ &= \dfrac1{\sqrt{2}}(1+\dfrac{t^{1/2}}{1/2}|_1^m)\\ &= \dfrac1{\sqrt{2}}(1+2(\sqrt{m}-1))\\ &= \dfrac1{\sqrt{2}}(2\sqrt{m}-1)\\ &= \sqrt{2m}-\dfrac1{\sqrt{2}}\\ \end{array} $

para que $\sqrt{2m} \lt x_{m+1} \lt \sqrt{2m}+x_2-\dfrac1{\sqrt{2}} $ .

Ampliando esto, estoy seguro de que podemos demostrar que $\lim_{m \to \infty} (x_m-\sqrt{2m}) $ existe (y tengo la sensación de que ya lo he hecho), pero lo dejaré así.

Answer 4

Sugerencia: Supongamos, por si acaso, que la secuencia está acotada por encima de algún umbral $\lambda$ . ¿Qué podemos decir de las diferencias $x_{n+1}-x_n$ ? Por un lado, $x_{n+1}-x_n = 1/x_n \geq 1/\lambda$ pero...