Demostrando que si el límite de las normas converge, entonces la secuencia converge

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio hilbert, y $C \subset H$ un conjunto convexo. Sea $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ sea una secuencia en $C$ avec $\lim_{n\to \infty}||x_n|| = \inf_{x\in C}||x||$ . Mostrar $x_n$ converge en $H$ .

Hasta ahora lo he hecho:

Dejemos que $P_C(0) = \{x \in C: ||x|| = \inf_{x \in C}||x||\}$ sea la proyección de $0$ en $C$ .

Si consideramos $\bar{C}$ (el cierre de $C$ ), entonces hay un teorema que nos dice que como $\bar{C}$ es cerrado y convexo, hay exactamente una $y \in \bar{C}$ avec $y=P_{\bar{C}}(0)$ es decir, $||y|| = \inf_{x\in \bar{C}}||x||$ . Como el mínimo del cierre de un conjunto es igual al mínimo del conjunto, también tenemos $||y|| = \inf_{x\in C} ||x||$ .

Ahora, necesito demostrar que como las normas convergen a la norma de un único elemento ( $y$ ), la propia secuencia debe converger a este elemento. Esto tiene sentido intuitivamente, ¡pero no consigo que sea riguroso! Se agradecería cualquier pista.

Answer 1

$||x_n-x_m||^{2}+||x_n+x_m||^{2}=2||x_n||^{2}+2||x_m||^{2}$ . Denotando $\inf_{x\in C} ||x||$ por $A$ obtenemos $\limsup ||x_n-x_m||^{2} \leq 2A+2A-\liminf 4||\frac {x_n+x_m} 2||^{2}$ . Tenga en cuenta que $\frac {x_n+x_m} 2 \in C$ así que $\limsup ||x_n-x_m||^{2} \leq 2A^{2}+2A^{2}-4A^{2}=0$ . $\{x_n\}$ es Cauchy, y por tanto convergente.

Answer 2

Esto es realmente cierto en el entorno más general de los espacios de Banach uniformemente convexos.

Como $\|x_n\|$ converge a $\|y\| = \inf_{x\in C} \|x\|$ ( que es única para conjuntos convexos en cualquier espacio normado reflexivo estrictamente convexo ), podemos tomar algún radio $r > \|y\|$ y observe que $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ es finalmente en $\overline{C}\cap B_r(0)$ , donde $B_r(0)$ es la bola cerrada de radio $r$ centrado en $0$ . El conjunto $\overline{C}\cap B_r(0)$ es la intersección de a conjunto débilmente cerrado y un conjunto débilmente compacto y por lo tanto es débilmente compacto. Para una subsecuencia $(x_{n_k})_{k\in \mathbb{N}}$ dejamos que su subsecuencia débilmente convergente sea $(x_{n_{k_j}})_{j\in \mathbb{N}}$ (que existe por el Teorema de Eberlein-Šmulian ), y dejamos que $x_{n_{k_j}}\rightharpoonup x^*\in \overline{C}\cap B_r(0)$ . Por el semicontinuidad inferior débil de la norma tenemos $$\|x^*\|\leq \liminf_{j\to \infty} \|x_{n_{k_j}}\| = \|y\|$$ lo que, por supuesto, es imposible a menos que $x^* = y$ según nuestra definición de $y$ como elemento único de $\overline{C}$ con norma mínima. Por lo tanto, ya que toda subsecuencia tiene otra subsecuencia que converge débilmente a $y$ tenemos $x_n\rightharpoonup y$ . Entonces, la convergencia débil y la convergencia de la norma implican conjuntamente una convergencia fuerte en los espacios de Banach uniformemente convexos , por lo que tenemos $x_n\to y$ .