¿Cuál es la ecuación de una cuerda fijada en ambos extremos sin simplificar los supuestos?

Question

El libro Mathematical Physics de Eugene Butkov tiene, en el capítulo 8, la ecuación para una cuerda sostenida (por sostenida quiero decir con los extremos fijos y ambos a la misma altura) como $$T\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+F(x)-\rho(x)g=\rho(x)\frac{\partial^2 u}{\partial t^2},$$ donde $T$ es la tensión, $F$ una fuerza externa, $\rho$ la densidad, $g$ gravedad y $u$ desplazamiento transversal (vertical).

Sin embargo, el libro deriva esta ecuación asumiendo que la cuerda se deforma poco desde la posición horizontal y que la tensión es contante. Tales suposiciones son fuertes, creo.

Además, para el caso estacionario $\frac{\partial u}{\partial t}=0$ no parece diferenciar entre una cuerda que cuelga por su propio peso y una cuerda que es arrastrada por una fuerza constante. Y sabemos que estas dos situaciones son diferentes ya que la solución para ellas es una catenaria y una parábola, respectivamente.

¿Cuál es la ecuación exacta de una cuerda retenida?

Answer 1

Dejemos que $T(x)$ sea el módulo de la tensión y $T_x$ , $T_y$ sus componentes horizontales y verticales.

Supongamos que un pequeño elemento de la cadena de longitud $ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$ . Como la tensión es la única fuerza horizontal, tenemos $T_x(x)=T_x(x+dx)$ que dice $T_x=T_0$ o $T(x)\cos(\theta)=T_0$ .

La diferencia de tensión vertical es $T_y(x+dx)-T_y(x)=\frac{\partial T_y}{\partial x}dx$ . Pero $T_y(x)=T(x)\sin(\theta)=T_0\tan\theta=T_0\frac{\partial y}{\partial x}$ Así que $T_y(x+dx)-T_y(x)=T_0\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}dx$ .

La fuerza vertical neta será $T_0\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}dx-F(x)dx-\rho g ds$ , donde $F(x)$ se asume hacia abajo. Obsérvese que tomamos la fuerza como proporcional a $dx$ y no $ds$ suponiendo que sólo actúa sobre la anchura horizontal del elemento. Por otro lado, la masa es definitivamente proporcional a $ds$ .

La fuerza neta debe ser igual a la masa por la aceleración vertical, $\rho \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}ds$ .

Esto da $$T_0\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}dx-F(x)dx-\rho g ds=\rho \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}ds.$$

Dividiendo por $dx$ obtenemos $$T_0\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}-F(x)-\rho g \sqrt{1+\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2}=\rho \sqrt{1+\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}.$$

Creo que esta es la ecuación exacta. En el régimen estacionario, da una parábola para una fuerza constante si ignoramos el peso, y una catenaria para ninguna fuerza externa.

Sin embargo, observe que sólo se reduce a la ecuación de onda habitual $T_0\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\rho \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$ cuando ignoramos el peso, fijamos $F=0$ y también asumir $\sqrt{1+\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2}\approx 1$ .

Answer 2

La catenaria de estado estacionario surge cuando $F(x)=0$ la parábola en estado estacionario surge cuando $F(x)\gg\rho(x)g$ . (casualmente estaba escribiendo sobre esto aquí .)

De forma más general, se podría realizar un balance de fuerzas en un elemento diferencial de la cadena para obtener $$\frac{\partial\mathbf{T}(s,t)}{\partial s}+\mathbf{F}(s)-\rho(s)g\mathbf{k}=\rho(s)\frac{d^2 \mathbf{x}(t)}{d t^2}$$ donde los parámetros en negrita son el vector de tensión $\mathbf{T}$ , fuerza distribuida $\mathbf{F}(s)$ posición del elemento $\mathbf{x}$ y el vector unitario $\mathbf{k}$ en la dirección vertical y $s$ es la distancia a lo largo de la cuerda. A esto hay que añadir una relación entre $|\mathbf{T}(s)|$ y $ds$ . Si la cadena es inextensional, por ejemplo, entonces $s$ es constante. Esta ecuación gobernante es independiente de la ubicación del punto final y puede acomodar fuerzas y desplazamientos en cualquier dirección y para una cuerda curva.

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