Deje $M_n(k)$ denota el conjunto de las matrices sobre el campo $k$, lo que podría ser visto como un espacio lineal de dimensión $n^2$. Supongamos $\varphi: M_n(k) \rightarrow M_n(k)$ es un valor distinto de cero lineal mapa, tales que $$ \forall A, B \in M_n(k):~\varphi(AB) = \varphi(A) \varphi(B).$$ Cómo probar que existe un nonsingular matriz $C \in GL_n(k)$ $$\forall A \in M_n(k):~\varphi(A) = CAC^{-1}?$ $
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Desde $\varphi$ es lineal, es natural para investigar cómo actúa sobre la base canónica de $M_n(k)$. Deje $E_{ij}$ denotar la matriz con un solo uno para la entrada $(i,j)$ $0$'s en otros lugares. Es una norma de la que $E_{ij}E_{kl} = \delta_{jk}E_{il}$, por lo tanto $\varphi(E_{ij})\varphi(E_{kl}) = \delta_{jk}\varphi(E_{il})$.
Deje $e_k$ el valor del $k$-ésimo vector de la base canónica de $k^n$.Tenga en cuenta que si $\varphi(E_{ij}) = CE_{ij}C^{-1}$,$\varphi(E_{ij})Ce_k = \delta_{jk}Ce_i$. Con $j=k$, $$\varphi(E_{ij})Ce_j=Ce_i$$ which yields a construction of $C$ (fix $j$ and let $i$ variar), de la siguiente manera.
Deje $I$ denota la matriz identidad. Desde $\varphi \neq 0$, hay algunos $A$ tal que $\varphi(A)\neq 0$, por lo tanto $\varphi(A)\varphi(I)\neq 0$, por lo tanto $\varphi(I)\neq 0$. Desde $I=\sum_{k=1}^n E_{kk}$, existe alguna $k$ tal que $\varphi(E_{kk})\neq 0$. WLOG supongamos $k=1$.
Desde $\varphi(E_{11})\neq 0$ existe $e_1'\in \operatorname{im}\varphi(E_{11})\setminus\{0\}$. Definir $e_i':=\varphi(E_{i1})(e_1')$. Es fácil comprobar que todos los $e_i'$ no es cero y que $(e_1',\ldots, e_n')$ es linealmente independiente, por lo tanto, una base. Definir $C$ la matriz con columnas $(e_1',\ldots, e_n')$. $C$ es invertible por la construcción. Es fácil comprobar que fija $(i,j)$, el siguiente tiene: $$\forall k, \varphi(E_{ij})e_k' = CE_{ij}C^{-1}e_k'$$ thus $$\varphi(E_{ij}) = CE_{ij}C^{-1}$$
Por lo tanto, por la linealidad, $\varphi(A) = CAC^{-1}$ todos los $A$.
