En el conjunto de $\mathbb{Z}[i]:=\{a+bi:a,b\in\mathbb{Z}\}$ de los Enteros de Gauss, podemos definir la norma a ser $N:\mathbb{Z}[i]\to\mathbb{Z}$ por $$ N(\alpha)=\alpha\alpha^*=a^2+b^2,\ \forall\alpha=a+bi\in\mathbb{Z}[i]. $$ Entonces, lo utilizamos para determinar factorisations de los enteros de Gauss. Ya que si $\alpha\mid\beta$$\mathbb{Z}[i]$,$N(\alpha)\mid N(\beta)$$\mathbb{Z}$. Además, sabemos que si $\eta$ es un máximo común divisor de a$\alpha$$\beta$$\mathbb{Z}[i]$, e $h$ es un máximo común divisor de a$N(\alpha)$$N(\beta)$$\mathbb{Z}$, se deduce que el $N(\eta)\mid h$. Mi pregunta es la siguiente:
¿Cuándo $N(\eta)\neq h$? Es posible caracterizar un caso en términos de un primer factorización?
Me siento como si esto está relacionado con el teorema de Fermat sobre la paridad de los exponentes de los números primos $q\equiv 3 \pmod 4$, es decir, un entero $n$ es una suma de cuadrados (y, por tanto, una norma de una Gaussiana entero) iff en un primer factorización $$ n=2^{a_0}p_1^{a_1}\dotsm p_r^{a_r}q_1^{b_1}\dotsm q_s^{b_s} \qquad (*)$$ donde $p_i\equiv 1\pmod 4,\ q_i\equiv 3\pmod 4$ son el primer y el $a_i,b_i\in\mathbb{Z},\ \forall i$, que tiene todas las $b_i$ son aún, pero he luchado para relacionar los dos.
Gracias de antemano.
Edit: he estado tratando de construir ejemplos con cierto nivel de dificultad, y voy a compartir mis intentos de aquí.
Primero de todo, sabemos que desde $N(\eta)\mid h$$N(\eta)\neq h$, debemos tener la $h\neq 1$. A continuación, $N(\alpha)$ $N(\beta)$ no debe ser coprime. Además, para tales enteros de Gauss para existir, deben tener la forma de $(*)$. A continuación, elegir los números primos congruentes a $1\bmod 4$, $\ p_1,p_2,p_3,p_4$ (o, equivalentemente, tomar los números primos congruentes a $3\bmod 4$, pero la plaza de ellos) y dejar que $$ N(\alpha)=p_1p_2p_3, \quad N(\beta)=p_1p_2p_4. $$ A continuación,$h=p_1p_2$, y puede que tengamos $N(\eta)=p_1$ o $N(\eta)=p_2$, en particular, $N(\eta)\neq h$. ¿Esto parece ser un método razonable? O hay alguna forma más fácil.
