Cómo encontrar el número de soluciones a $ 2x^{4}+x^{3}-4x+11\equiv 0 \pmod{1000000}$?

Question

Sé que para una ecuación cuadrática podemos mirar si $ b^2-4ac $ es una ecuación cuadrática de los residuos y a la conclusión de que hay dos soluciones, pero no estoy seguro de cómo hacer esto con una ecuación de cuarto grado. Hay una manera de que yo pueda aplicar el método anterior o hay otra manera?

Answer 1

Es fácil de comprobar por la mano que $1$ es la única solución modulo $2$ y el modulo $5$. Entonces, usted puede utilizar el buen método propuesto por Mark Bennet para resolver el problema, pero no es tan fácil de encontrar soluciones a los predichos por Hensel del lexema.

En realidad, es un poco deprimente para descubrir que una aproximación de fuerza bruta usando el Sage software instantáneamente le da la única solución, x = 717071 .

for x in [0..99999]:
  x = 10*x + 1;
  if (((2*x^4 + x^3 - 4*x + 11) % 1000000) == 0):
    print "x = " + str(x)

x = 717071