Holomorphicity de la plaza de una función

Question

Estoy tratando de averiguar si la siguiente afirmación es verdadera.

Si $f$ es tal que $f^2$ es holomorphic en un conjunto abierto $\Omega \subset \mathbb{C}$ $f$ sí es holomorphic en $\Omega$.

Mi sensación de que, desde la asignación de la función $z$ $\sqrt{z}$es multivalor que este no debería ser el caso, pero estoy luchando para venir para arriba con un contraejemplo.

Answer 1

Elija cualquiera de los discontinuo $f : \Bbb C \to \{-1;1\}$.

$f^2$ es constante, por lo tanto holomorphic, sino $f$ claramente no lo es.

Answer 2

Tome $f(z)$ de manera tal que, si $z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$,$\theta\in[0,2\pi)$,$f(z)=\sqrt\rho\left(\cos\frac\theta2+i\sin\frac\theta2\right)$. A continuación, $f$ no holomorphic (no es continua), sino $\forall z\in\mathbb{C}:f^2(z)=z$.

Answer 3

Si $f^{2}$ es holomorphic $f$ no tiene que ser. Usted puede elegir una rama particular $\sqrt z$ para obtener un contra-ejemplo. Por ejemplo, en $\Omega =\mathbb C \setminus {0}$ puede definir $\sqrt {re^{i\theta }}$ $\sqrt r e^{i\theta /2\}}$ al $\theta$ es elegido en $[0,2\pi)$. Esto le da a usted una sola función con valores de cuyo cuadrado es holomorphic pero la función en sí no lo es. Sin embargo, si $f$ es continua y $f^{2}$ es holomorphic lo es $f$.