Cociente del anillo de ser isomorfo al anillo inicial

Question

Esto puede ser una pregunta muy básica. Deje $R$ ser un anillo conmutativo con unidad (puede ser asumida como una integral de dominio, si es necesario) y $I$ a ser un ideal de. Suponga que $R/I$ es isomorfo a $R$ sí. ¿Significa esto $I$ es trivial$?$

Answer 1

Contraejemplo:

$R=\Bbb Q [X_1, X_2, \dots , X_n, \dots]$. Definir el anillo de morfismos $f: R \to R$ por $$\begin{cases}X_i \mapsto X_{i-1} & i>1 \\ X_1 \mapsto 0 \end{casos} $$

y llame a $I= \ker f$.

A continuación, $$R/I \cong \mathrm{Im} f= R$$

Answer 2

Hay una sutileza aquí: ¿qué quieres decir con "es isomorfo a"?

En un entorno en donde las construcciones de $A$ y/o $B$ rendimiento canónica de mapa de $f:A \to B$, la frase "$A$ es isomorfo a $B$" se utiliza a menudo como una forma abreviada de decir el mapa específicas de la $f$ es un isomorfismo, en lugar de simplemente afirmar que existe algún mapa que es un isomorfismo.

Y es cierto que, si el cociente mapa de $R \to R/I$ es un isomorfismo, entonces $I = (0)$.

Pero si usted simplemente afirmar que hay algunos isomorfismo entre el $R$ $R/I$ sin implícitamente que exigen el cociente mapa, de hecho, es posible que $I$ a ser trivial como se ha demostrado en la otra respuesta. Para variar, voy a dar otro ejemplo.

Deje $R = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \ldots$ ser el producto de un número infinito de copias de $\mathbb{Z}$. (digamos, countably muchos)

Hay un surjective "olvidar el primer componente y el desplazamiento a la izquierda por un lugar" mapa de $R \to R$ cuyo núcleo es $I = \mathbb{Z} \times 0 \times 0 \times \ldots $. Entonces, usted tiene $R \cong R/I$.