Cómo evaluar la integral de la $\int e^{x^3}dx $

Question

Cómo evaluar la integral $$\int e^{x^3}dx \quad ?$$

He tratado de establecer las $t=x^3$, pero parece ser un callejón sin salida; no sé qué hacer con $\int\frac{e^t}{3\sqrt[3]{t^2}}dt$.

Answer 1

La antiderivada de $e^{x^3}$ no se puede expresar en términos de funciones elementales. Sin embargo, podemos expresar que el uso de energía de la serie. Desde $$ e^x = \sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!}, $$ $$ e^{x^3} = \sum_{n \geq 0} \frac{(x^3)^n}{n!} = \sum_{n \geq 0} \frac{x^{3n}}{n!}.$$

Usted puede integrar término a término a encontrar una serie representación de la antiderivada (que converge en todo el plano complejo, ya que $e^{x^3}$ es toda una función).

Answer 2

$$\int e^{x^3}dx=\int \sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n}}{n!}dx$$

$$\int \sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n}}{n!}dx=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n+1}}{(3n+1)(n!)}+c$$

$$\frac{1}{3n+1}=\frac{(\frac{1}{3})^{(n)}}{(\frac{4}{3})^{(n)}}$$

$$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n+1}}{(3n+1)(n!)}+c=x\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(\frac{1}{3})^{(n)}(x^3)^n}{(\frac{4}{3})^{(n)}(n!)}+c$$

$$x\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(\frac{1}{3})^{(n)}(x^3)^n}{(\frac{4}{3})^{(n)}(n!)}+c=\ x\ 1F1(\frac{1}{3};\frac{4}{3};x^3)+c$$

por lo $$\int e^{x^3}dx=\ x\ {}_1F_1(\frac{1}{3};\frac{4}{3};x^3)+c$$

donde ${}_1F_1$ es Función Hipergeométrica de la Primera Clase

Answer 3

Curiosamente, la integral definida $$ \int_0^\infty e^{-x^n}dx $$ puede ser evaluado para cualquier $n>0$, y es igual a $\Gamma((n+1)/n)$.

Answer 4

otro intento se puede resolver con la función Gamma

$$\int e^{x^3}dx=\frac{-1}{3}\int e^{-t}t^{\frac{1}{3}-1}dt$$

$$\frac{-1}{3}\int e^{-t}t^{\frac{1}{3}-1}dt=\frac{-1}{3}\int_{0}^{t}e^{-t}t^{\frac{1}{3}-1}dt+c$$

$$\frac{-1}{3}\int_{0}^{t}e^{-t}t^{\frac{1}{3}-1}dt+c=\frac{1}{3}(\int_{0}^{\infty }e^{-t}t^{\frac{1}{3}-1}dt-\int_{t}^{\infty }e^{-t}t^{\frac{1}{3}-1}dt)+c$$

$$\frac{-1}{3}(\int_{0}^{\infty }e^{-t}t^{\frac{1}{3}-1}dt-\int_{t}^{\infty }e^{-t}t^{\frac{1}{3}-1}dt)+c=\frac{1}{3}\Gamma (\frac{1}{3},t)+d$$

$$\frac{1}{3}\Gamma (\frac{1}{3},t)+d=\frac{1}{3}\Gamma (\frac{1}{3},-x^3)+d$$

así

$$\int e^{x^3}dx=\frac{1}{3}\Gamma (\frac{1}{3},-x^3)+d$$

donde d y c son constantes

Answer 5

La integral no puede ser evaluado. Tenemos que usar el poder de la serie de exponente y luego integral término por término. $$e^{x}=\sum_{n \geq 0}{\frac{x^n}{n!}}$$