Tengo problemas para entender este concepto. ¿Por qué es necesario demostrar que la suma o la multiplicación está bien definido en clases de equivalencia? Mi comprensión de las clases de equivalencia es que debe ser reflexiva, simétrica y transitiva. No, probando que implica automáticamente que la suma y la multiplicación se puede hacer? ¿Por qué la necesidad de demostrar que es "bien definido"?
Disculpas si esta pregunta es demasiado trivial; mi entendimiento de este tema es limitado.
Considere la posibilidad de esta relación de equivalencia en $\mathbb N$: $$a \sim b \quad\text{iff}\quad \lfloor a/10 \rfloor = \lfloor b/10 \rfloor $$ el que dice que dos de los naturales están relacionados si solo difieren en su último dígito.
Esta es una perfectamente buena relación de equivalencia, pero nosotros no puede extender, además de clases de equivalencia por el mismo gobierno que trabaja para la aritmética modular:
$$ [a]_\sim + [b]_\sim = [a+b]_\sim $$
El problema es que la suma de dos clases de equivalencia ahora dependen de que los representantes de la usamos para definir su suma. Por ejemplo, la regla parece implicar que $$ [11]_\sim + [32]_\sim = [43]_\sim \\ [17]_\sim + [35]_\sim = [52]_\sim $$ Sin embargo $[11]_\sim$ es de la misma clase de equivalencia como $[17]_\sim$, e $[32]_\sim = [35]_\sim$, pero $[43]_\sim$ es no el mismo que $[52]_\sim$. De modo que la definición no realmente nos dicen que de las clases de equivalencia debe ser el resultado de $$ \{10,11,\ldots,19\} + \{30,31,\ldots,39\} $$
La comprobación de que la adición de las clases de equivalencia "está bien definido" significa convencer a sí mismo de que esta situación no se produce por la relación de equivalencia que estamos mirando.
Sólo porque una relación es de equivalencia, esto no significa que tiene que ser "agradable" con respecto a cualquier operación que se desea poner en sus clases. Para ver esto, mira un no ejemplo de que algo está bien definido.
Deje $V=\mathbb{R}^2$ ser el avión con su habitual estructura de espacio vectorial. Poner una relación en $V$ definiendo $u \sim v$ si $u = cv$ para algunos no-cero escalares $c$. Esta es una relación de equivalencia en $V$. El vector cero está en una clase por sí mismo, y el resto de clases son los vectores que forman líneas paralelas a través del origen (con el vector cero eliminado).
Ya que las clases son, naturalmente, representados por vectores, usted podría intentar definir una adición natural en $V/\sim$ por $$ [u] + [v] = [u+v]. $$ Pero esto no puede ser bien definido, aunque la relación en el juego es una equivalencia.
El problema es que dos personas diferentes puede agregar el MISMO DOS clases, pero obtener diferentes respuestas. Eso no es bueno. Por ejemplo, Alice quiere agregar la clase correspondiente a la $x$-eje (con cero eliminado) a sí mismo. Esta clase es $[(1,0)]$, por ejemplo. Así, Alice ¿ $$[(1,0)] + [(1,0)] = [(2,0)] = [(1,0)].$$
Bob va a hacer exactamente la misma clase de adición, pero hay que reconocer que $[(1,0)]$ es también igual a $[(-1,0)]$. Entonces Bob se $$[(1,0)] + [(-1,0)] = [(0,0)] \neq [(1,0)].$$
Alice y Bob han añadido exactamente la misma clase para sí misma, pero tiene respuestas contradictorias.
Supongamos que se ha dividido el conjunto de todos los números enteros en $\mathbb Z_{10}$, el conjunto de todas las clases de equivalencia módulo $10$. Deje $[n] = \{x \in \mathbb Z : x \equiv n \pmod{10} \}$ ser el de clases de equivalencia.
Ahora vamos a definir $[a] \vee [b] = [\operatorname{lcm}(a, b)]$ para todos los $[a], [b] \in \mathbb Z_{10}$
Entonces \begin{array}{c} [2] &\vee &[6] &= &[6] \\ [12] &\vee &[16] &= &[48] \\ \end{array}
Pero $[2]=[12], \ [6]=[16]$$[6] \ne [48]$. De ello se desprende que $\vee$ no está bien definido en $\mathbb Z_{10}$.
La elaboración de Henning Makholm la respuesta:
Considere la posibilidad de esta relación de equivalencia en $\mathbb N$: $$a \sim b \quad\text{iff}\quad \lfloor a/10 \rfloor = \lfloor b/10 \rfloor $$ el que dice que dos de los naturales están relacionados si solo difieren en su último dígito.
[Definir $+$ (1)]: $$[a]_\sim + [b]_\sim = [a+b]_\sim$$
El problema radica en el intento de definición (1) de la función $$ +: \mathbb{N}/_\sim \times \mathbb{N}/_\sim \to \mathbb{N}/_\sim. $$
La definición (1) está destinado a ser un acceso directo (como un programador se le podría llamar azúcar sintáctico) para el siguiente direccionamiento indirecto definición:
(2) $+$ es la única función, de modo que para cada $a, b \in \mathbb{N}$ el siguiente se tiene: $[a]_\sim + [b]_\sim = [a+b]_\sim$.
Para esta definición a estar bien definidos que usted necesita para demostrar dos cosas:
Sin embargo, tal función no puede existir como Henning Makholm la respuesta de la muestra.
Te gustaría ver el problema más fácilmente si se trató de definir $+$ de una manera directa:
(3) Deje $x, y \in \mathbb{N}/_\sim$. ... A continuación, establezca $\mathbb{N}/_\sim \ni z = \cdots$ establecer $x + y = z$.
¿Cómo se construye el "..." de la parte para que coincida con el intento de definición anterior? Usted podría decir:
(4) Permitir que los $x, y \in \mathbb{N}/_\sim$. Deje $a \in x, b \in y$. A continuación, establezca $\mathbb{N}/_\sim \ni z = [a + b]_\sim.$.
Aquí se puede ver que la definición de $z$ podría depender de la elección de $a$$b$. Incluso si ese no era el caso, deberá demostrar que $x, y \neq \emptyset$.
Incluso en el intento de definición (4) el problema es bien oculto, se podría decir. Vamos a quitar el repetitivo y nos recuerdan lo que una función es:
Si $X, Y$ son conjuntos, entonces la relación $f \subseteq X \times Y$ se llama a una función $f: X \to Y$ $:\Leftrightarrow$
- $f$ es una izquierda-total relación: $\forall x \in X\ \exists y \in Y. (x, y) \in f$
- $f$ es un derecho único de relación: $\forall (x, y) \in f\ \exists_1 z \in B. (x, z) \in f$
Con $+$ está destinado a ser una función de $+: \mathbb{N}/_\sim \times \mathbb{N}/_\sim \to \mathbb{N}/_\sim$ en mente, podemos ahora intentar definición
(5) $+$ es la función de $\{\left((a, b), c\right) \in (\mathbb{N}/_\sim \times \mathbb{N}/_\sim) \times \mathbb{N}/_\sim\, |\, [c]_\sim = [a + b]_\sim \}$.
Todavía debe ser probado que el conjunto dado es de hecho una función. Que los bienes de la misma serán violados?
Spoiler:
El conjunto no es derecho exclusivo como Henning Makholm la respuesta de la muestra.
En resumen, a veces, que sólo operan en el pensamiento de alto nivel puede llevar fácilmente a los imprevistos y se omiten problemas.
Este problema no está restringida a las clases de equivalencia, siempre aparece si uno utiliza un indirectos definición. Por ejemplo,
deje que la función exponencial $\mathrm{exp}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser la única función de lo que $\forall x, y \in \mathbb{R}. f(x + y) = f(x)f(y)$.
Es $\mathrm{exp}$ bien definida?
Spoiler:
No, la unicidad es violado. Esta ecuación se satisface a través de todas las funciones exponenciales. Por ejemplo, aparte de la obvia $x \mapsto e^x$ solución, $x \mapsto 3^x$ también satisface la ecuación: $3^{x+y} = 3^x 3^y$.
De hecho, uno necesita un poco más de las propiedades, de modo que la unicidad está garantizada:
La función exponencial $\mathrm{exp}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es el único Lebesgue-medible función de con $f(1) = e$, por lo que el $\forall x, y \in \mathbb{R}. f(x + y) = f(x)f(y)$.
Fuente: https://en.wikipedia.org/wiki/Characterizations_of_the_exponential_function
Fuente Original: Hewitt y Stromberg, Real y Análisis Abstracto (Springer, 1965), el ejercicio de 18,46
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