Grupo y subgrupo

Question

Acabo de enterarme de que un grupo es un conjunto junto con una operación como $<G,•>$.

Y un subgrupo es un subgrupo H de G, que forma un grupo bajo el "•".

Me confundí por las definiciones porque creo subgrupo debe ser un grupo y debería ser $<H,•>$. Es ese derecho?

Answer 1

Estás absolutamente en lo correcto.

(Pero, ser conscientes de que los grupos y subgrupos se refiere a menudo simplemente como, por ejemplo, $G$, sin especificar una operación, cuando el escritor asume que usted sabe lo que la operación se está hablando.)

(En concreto, si hablamos de "un subgrupo de la $H$$<G, \cdot>$", la operación sólo podía ser $\cdot$, de modo que no es necesario decir "un subgrupo de la $<H, \cdot>$ ..." a pesar de que es realmente lo que queremos decir.)

Answer 2

Correcto, un grupo es un conjunto con 3 propiedades

1. Tiene un elemento de identidad
2. Es cerrado bajo la operación • (lo•)
   3. Es cerrado bajo la recíproca

Un punto importante a tener en cuenta es que H no es cualquier grupo, pero uno que toma prestado el elemento de identidad y operación de G. propiedades:

1. Tiene el mismo elemento de identidad como G
2. Es cerrado bajo la misma operación como la de G
3. Es cerrado bajo la recíproca

Answer 3

Usted está diciendo "un subgrupo de la $H$ debe ser de un grupo...". Voy a detenerme aquí, y preguntar en qué operación? Esperamos que debe ser el grupo de bajo la misma operación que en $G$.

Lo mismo se dice en las dos primeras líneas: $H$ es un subconjunto, que se convierte en grupo bajo el mismo $\bullet$$G$.