El uso de CLT para calcular la probabilidad pregunta

Question

Supongamos $53$ por ciento de la población prefiere los calcetines rojos a verdes. Si $100$ al azar de la gente se pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que la mayoría (al menos $50$) va a decir que prefiere el VERDE:

Así que me puse a
\begin{align*} N & = 49.5\\ n & = 100\\ p & = 0.47 \end{align*}

Entonces.. \begin{align*} P(N \geq 49.5) & = P\left(\frac{N - np}{\sqrt{npq}}\right)\\ & \geq \frac{49.5 - 47}{\sqrt{100*.47*.53}}\\ & = \varphi(0.50)\\ & = 0.3085 \end{align*} Excepto, que no es la respuesta correcta. ¿Qué hice mal en mis cálculos?

Answer 1

La "respuesta correcta" uso de la distribución binomial es acerca de $0.3078$ y usted puede encontrar con R usando

1 - pbinom(49, 100, 0.47)

Su aproximación normal con la continuidad de la corrección de dar $0.3085$ parece lo suficientemente cerca, a pesar de que mi cálculo sugiere que podría ser $0.3082$ si no ronda en el medio de la caclution.

Si la respuesta del libro es que ofrece acerca de la $0.24134$ o $0.24157$, es el uso de una definición diferente de "la mayoría". Si se ofrece acerca de la $0.27389$, entonces no es el uso de una corrección de continuidad.

Answer 2

El uso de CLT, la aproximación normal a la distribución binomial se han significar $np$ y la varianza $np(1-p)$ donde $n=100$ $p=0.47$ (probabilidad de que la gente que prefiere el verde).

Lo que usted desea encontrar es $P(N\geq 49.5)$ (como una continuidad de la corrección de $-0.5$ debe ser aplicado) para la distribución normal, la cual será $$P(N\geq 49.5)=1-\Phi\left(\frac{49.5-47}{\sqrt{47(1-0.47)}}\right)=0.30822$$